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V C
V = 1.20+3.10 = 50
C = 2.20+0.10 = 20
V C
a
c
V = a+3c
C = 2a
V = 100 C = 80 a c (S)
a+3c = 100
2a = 80
a = 40 a
c = 20
D1
e
(1)
eut
Les
la

a
ts
Donc

le
t

20
v

yp
es
d'origine
Aragon
b
et
le
10
Castille.

sorte
es
et
Castille.
de
De


il
bien
Aragon
de
un

le
de
v

glaces
haque
oser
esp
et
?ce
relation:
le
v
glacier
b
doit-il

disp
t
oser?
deux
(2)
ec
Le

glacier
puis
dip
aleur
ose
deux
de
eut
10
Donnons

plan
de
d?terminer
v
elons
anille
bre
et
de
8
et
de
bre

don
Com
doit
bien
our
de
es


es
a
Aragon
1l
et
Dans

oules
bien
v
de
ec

Castille
es
,
Castille
doiv
p
le
eut
une
il
et
servir
b
en
a
utilisan
la
t
fournit
toute
es
la
rempla?an
glace
sa
don
pre-
t
t
il
glacier
disp
glacier
ose?
40
Solution
20
de

la
Dans
question
ort?
(1)
?re
App
tersection
elons
v
par
10
le
nom
nom
de
bre
oules
de
glace
b
anille
oules
faire
de
nom
glace
de
v

anille
t
et
glacier
Commen?ons
disp
le
p
nom
pr?parer
bre

de
Aragon
glaces
p

es
don
On
t
la
le
il
glacier
de
doit
un
disp
anille.
oser.
de
On
De
a:
qu'a
exemple.
ec
Premier
trois
1.1.
v
lin?aires
et
syst?mes
e
de
la
Exemples
et
1.
anille
TRICIEL
en
MA
satisfaire
CALCUL
syst?me
:
de
I
de
I
?quations:
CHAPITRE

A/B
oules
111
deux
THS
v
MA
Aragon
Un

t.
La
hissan
ligne

es,
?re
de
esp
,
qu'on
en
exemple
t
un
par
b
v
oules.
dans
la
t
mi?re,
le
vien
oin
t
oser
sert
de
.
5
le

p
de
pr?parer
glace
glaces
?
et
la
Castille.
v
un
anille
exemple,
et
g?om?trique.
de
le
2
rapp
au
?

rep
Solution

de
l'in
la
de
question
droite
(2)

App
t
passan
glacier
par
doit
p
donc
disp
1
Le(40,0) D (1,3)2
(100,0)
D x = 40 D x+3y = 1001 2
′(x,y) (S )
x+3y = 100
x = 40
(x,y) = (40,20)
x → a y → c
′(S ) (S)
′(S) (S )
1× 1
(E ) a.x = b a ba,b
a = 0 (E ) xa,b
bax =b x =
a
a = 0 b = 0 ax =b b = 0
x (E )0,b
a =b = 0 0 = 0
x∈R (E ) R0,b
2× 2
S (a,b,c,d;e,f)2,2
ax+by = e
cx+dy = f.
a,b,c,d,e,f e =f = 0
(T)
nom
e
Gauss:
de
la
syst?me
est
d'?quations
mog?ne)
in
Si
tervien
supp
t
la
dans
t
de
,
nom
le
breuses
par
questions
t
scien-
L'?quation
tiques
.
en
tier.
ph
augmen
ysique
.
(ondes,

ph?nom?nes
p

puisque

est
quan
syst?me
tique),
de

devien
himie,
Cas
biologie,
de

.
mais
tout
aussi
de
en
donc
statistique
trivial
et
dans
dans
eaux
des
Syst?mes
mo
d'un
d?les
de
?conomiques,
syst?me
la
?quation


he
est
des
droites
math?matiques
t
(app
son
el?e
oin
alg?bre
inhomog?ne
lin?aire)
m?tho
qui
du
les
le
?tudie
p
est
donc
tr?s
i
d?v
syst?me
elop-
ordonn?es
p
t
?e
a
et
p
son

outil
des

du
est
que
le
tout

exemple
matriciel.
quand
1.2.

Syst?mes
syst?me
lin?aires
de
et
en
ordonn?es
jeu.

.
.
le
Un
lin?aire
autre
deux
exemple
v
plus
dire
simple
our
de
p
syst?me
Donc
lin?aire
Ainsi
est
h?
l'?quation
-
de
t
A/B
:
t
son

?rien
Comme
paral?lles
111

THS
des
MA
don
2
,
(inhomog?nes).
dit
lin?aires
Rapp
o?
exemples
syst?mes
de
et
syst?mes,
de
ot
son
?
t
t
deux
le
r?els.
oin
La
est
r?solution
vide.
de
2

On
syst?me
ose
est
le
?l?men

taire,
.
mais
devien
il
alors

Solution
vien
et
t
satisfaite
de
our
distinguer
ues
3
des


Cas
solutions
1:
nom
On
substitution
supp
sous
ose
est
exemples
remarquera6
en
des
Cet
t
est
.
mais
La
le
solution
bre
de
ues
son
le
de
d'?quations
la
te
droite
nouv
de
ph?nom?nes
et
tren
est
en
v
1.3.
yp
lin?aires
On
ecteur
p
qui
Consid?rons
satisfait

la
syst?me
relation
(inho-
normal
de
syst?mes
equations
Les
deux
gastronomique.
ariables,

?
?
d'un
dire
d'?quations
l'autre
?quation
et
a
g?om?trique
our
d'origine
.
.
le
Cas
oin
2
t
i
herc
On
de
supp
forme:
ose
qui
est
uniquemen
l'un
d?termin?
que
les
,
deux
alors
ne6
syst?me
passan
t
t
v
.
pas
Alors,
-
la
ordonn?es
relation
les
par
t
syst?me
r?els.
au
t
t
t
devien
p
t
le
alen
est
?quiv
homog?ne,
syst?me
sinon.
et
elons

deux
r?el
la
un
de
ne
r?solution
p
tels
eut
dite
la
piv
satisfaire.
de

Soit
des
r?soudre
solutions
de
l'unique
:
r?elx+2y = 1 (L )1
x+y = 2 (L ).2
x
y
′ ′L =−L +2L L =L1 2 21 2
′x = 3 (L )1
′x+y = 2 (L ).2
x = 3 y x
(T) (x,y) = (3,−1)
S (a,b,c,d;e,f)2,2
ax a = 0 by b = 0
(U)
x+2y = 1
2x+4y = 1.
x
y
x+2y = 1
0.x+0.y = −1.
0 = −1
(U)
′(U) (U )
x+2y = 1
2x+4y = 2,
′(U ) x+2y = 1
(1,0) (1,2)
a b c d
S (a,b,c,d;e,f) (x,y)2,2

par
Donc,
sa
le
v

aleur.
ecteur
La

solution
la
de
est
obtien
ensem
on
don
et
p
,
deux
qui
de
est

unique,
en
est
ligne
donc

le
par

Plus
fournit
son
ligne
r?solution
premi?re
tenan
La
a
soit:
ne
,
une
et
si
de
faire
form?
l'autre
d'?quations
m
syst?me
deux
le
la
.
te
On
alen
p
v
ourrait
la
appliquer
qu'une
le
deux
m?me
d'une
traitemen
t
t
les
au
en
syst?me
La
est

t
terme
alen
?quiv
?quiv
ues.
syst?me
relation
le
?tre
Ainsi
syst?me
ligne.
n'a

Notez
la
mo
de
ligne
en
sorte
terme
de
le
:
hoisit


t
on
du
.

Le
double
piv
Cette
ot
donc
p
des
ourra
est
?tre
?

P
ossibles,
a
t
de
?sen
passan
t
des
p
de
t
ne
si
l'une
son
t6
t
hoix
d'autre

alen
,
pas
d'autres
n

?quiv
si
?
Mais
de6
A/B
ligne.
solution
premi?re
THS
,


Sa
Donnons
ligne
un
aut
autre
Le
exemple.

Soit
une
?
qui
r?soudre
saurait
le
satisfaite!
syst?me
le
la
des
de
disparaitre
le
pas
:
solution.
prendre
que
de
on
est
diie
t

?viden
de
ot
?
piv
en
de
t
hoix
ligne

de
Le
hoisi
ot.
t
piv
ultiple
le
un
On
additionnan

syst?me
hoisit
lignes

La
piv
ligne
ot
le
le
de
elle
premi?re.
de

la
est
premi?re
redondan
ligne.
et
Ici
une
la
on
m?tho
?quiv
de
t
du
faire
piv
our
ot
ariables.
de
et
Gauss

marc
ble
he
solutions
presque
droite
trop
t
bien
deux
puisque
seule



v
hoix
normal
?limine
?quations
aussi
des
s'app
.
!
g?n?ralemen
En
si
eet
part
on
et
obtien
et
t
part
le
et
syst?me
ne
?quiv
t
alen
tous
t:
deux
l'autre
uls
?
syst?me
t
rempla?an
syst?me
duire
additionne
un
puis
pro
ultiplie

m
de
l'on
m?tho
que
3
ligne
a
la
our
dans
les
ue
111

MA
t
hoisi
rep

tan
le
termeD1
ax+by =e D cx+dy =f2
D D1 2
D D1 2
(T) (U)
′(U )
(x,y)
2R (x,y)
2R
3(x,y,z) R
3R
n
∗n∈N
nR n
nR n
1n = 1 R R
nx∈R i∈N 1≤i≤n
x ∈R i x xi
n x ,...,x1 n
n n
 
x1
 x2 
 x = . 
 .
xn
nR
0 0n
0 0
(2,3)
2
3
la
r?els
est
son

t
on
des
?
?l?men
et
ts
2.
de

l'ensem
.
ble
de
qu'on
du
app
paral?lles
elle
v
v
tel
a
est
.
ersemen
Comme
qu'un

on
haque
de

et
d'?quation
droite
droite
les
la
v
de
v
tersection
t
est
elles
l'expression
haque
en
de

nom
ordon?es
est

de
d'un

v
nom
ecteur
si
du
raisons
plan
noter
rapp
tes
ort?
par
?
est
un
a
rep
Un
?re
r?le

ul,
On
son
app
notera
elle

les
.
?l?men

ts

de
des
l'in

de
sera
des
et
v
Cette
ecteurs
tersection
?
et
deux
ose

r?el
osan
seul
tes.
p
Les
te
triplets
In
ts

oin
d?termin?
p
des
les
r?els

oin
ordonn?es
solutions

our
de

nom

bres
v
r?els

formen
une
t
nom
un
p
ensem
fa?on
ble

qu'on
ec
app
est
elle
son
en
ecteur
A/B
joue
et
Il

ecteur
haque
t
triplet
osan
est
?gales
l'expression
on
en
non

si
ordonn?es
?

m?me
d'un
notation
v

ecteur
nom
de
te

ils
rapp
t?s
ort?
Ainsi
?
?
un
tes
rep
vide
?re
d?sormais
bres

droite.
Les

?l?men
une
ts
in
de
que
111
est
THS

son
,
t
disp
app
d'un
el?s
bre
v
vide
ecteurs
un
?
qui
trois
la

-?me
osan
osan
tes.
de
P
.
our
v
de
t,
nom
est
breuses
t
raisons,
par
il
donn?e
est
t,
in?vitable
bres
de
?l?men

n'a
des
t
v
de
ecteurs
des
?
P
MA
des

de
p
dit?,
osan
a
tes,
de
de
un
ec
ecteur
la

4
osan
la



juste
ourquoi

bres,
p
exemple:
le

matriciel.
g?om?trique
p
une
ositif.
qui
D?nition
,
1.
ne
L'ensemble
v
droite

d'?quation

est
si
l'ensembles
t
des
v
.
de
-uplets
la
de
un
nombr
particulier.
es
s'agit

v
.
n
passage
don
la
toutes
ligne

la
tes

t

?
est
,
dicult?;
le
Les

d?ntion.
,
les
oire
ve


n'est
?

Motivation,
ou

t
omp
La
osantes.
des
Notons
ecteurs
le
des

de
particulier
bres
2.1.1.
di?ren
ecteurs.
de
V
o?
o?
son
on
repr?sen
iden

tie
lignes.
2.1.
le
trices
ecteur
?
deux
Ma
osan
.
son
P
si
our
paral?lles,

not?
haque
pas
nom
et

r
Le
?
de
els.
notation
On
a
app
notation
el
et
le
ersa
les
sans
?l?ments
de
notation
un
est
nom
plus
bre
de
en
our
tier


t1 180
0 20
180 i
i
0
nR
     
x y x +y1 1 1 1
     x y x +y2 2 2 2n     x = ,y = ∈R , x+y = .     
x y x +yn n n n
nR
   
x λx1 1
 x   λx 2 2n   x = ∈R , λ∈R λ.x = .   
x λxn n
(x+y)+z = x+(y+z)
x+y = x+y
x+0 = x
λ.(x+y) = λ.x+λ.y
′ ′(λ+λ ).x = λ.x+λ.x
′ ′(λλ).x = λ.(λ.x)
0.x = 0
1.x = x
n ′x,y,z∈R λ,λ ∈R
(−1).x+x =0 −x (−1).x
e = (...(x +x )+...+x )...)1 2 p
e =x +x ...+x1 2 p
λx λ.x
bre
MA
a
Th?or?me
la
1.
des
Ces
de
op
haque
?r
simplemen
ations
simplication
v?rient
180
les
de
r
ermet
?
.
gles
la
arithm?tiques:
les
n

um?ro

.
Consid?rons
Il
,
est
le
?
qu'on
souhaiter
dite
que
paren
le
forme
v
.
ecteur
te:
des
un
notes
qui
de
p
.
indi?ren
.

.

l'examen
un

ve
ann?e
amphi
ne
an
soit
qui
pas
v
.
ecteur
2.2.
un
Op
De
?rations
r?gle
te:

an
er
suiv
dans
r?gle
de
la
de
selon
.
sur
?tudian
les
u
de
suiv
ecteurs
donn?
v
de
les
par
additionner
ecteurs
eut
m
p
est
On
?tan
de
par
l'examen
dite
par
Une
ecteurs.
notation
un
renden
v
de
ecteur
p
?
a


osan
un
tes
de
don
?tudi-
t
ts
v

la
justie
-?me
noter

enan
osan
v
te
t
est
passer
la
partiel,
note
.
.
plus
.
premi?re
.

.
d'asso
.
p
On
d'enlev
.
les
p
th?ses
eut

repr?sen
expression
ter
la
le
n
r?sultat
um?rotera
111
.
THS
de
?
Ces
Chaque
de
t
seron
obten
utilis?es
une
pr?a
an
dans
r?gle
our
selon
A/B
r?el
5
et
t
noter
l'?tudian
t
2.1.2.
note
.
de
.
v
.
ultiplier
Quelques
eut
exemples
On

l'ordre

termes
ets
t
de
t
.
la
La
r?gle,
preuv
de
e,
utativit?.
ais?e,
autre
de
de

que
th?or?me
r?gles
est
t
laiss?e
est
au
noter

nom
En
our
particulier,
on

.
en
simplications
tre
notation
et
t
.
sans
en
vis
tier
la
suite.
pnR
nx,y∈R (x;y)
   
x y1 1
nX   x y2 2 n   x = , y = ∈R , (x;y) = x y.i i   
i=1
x yn n
(x;y) = (y;x)
((λx);y) = λ(x;y)
(x+y;z) = (x;z)+(y;z)
nx,y,z∈R λ∈R (x;x)
kxk x =0
Pn2 2kxk = xii=1
n = 2,3 kxk x
(x;y) =x.y
S (a,b,c,d;e,f)2,2
ax+by = e
cx+dy = f,
a,b,c,d e f 
a
 b4  a,b,c,d R a = c
d

a b
A =
c d
n
n= 1,2,4,8
d'un
sujet
e
,
syst?me
qui
our
est
m
nul
que
si
est
et

seulement
la
si
que
un
bres
est
.
ecteurs
en
.
ar
La
tard,
preuv
est
e

des
la
relations

est
.
ais?e.
aect?e
Notez
scalaire.
que
bres
v
o
des
euv
ultiplication
de
m
r
La
elations
A/B
nous
111
la

mani?re
e
ter
?
lignes
THS
les
MA
L
6
probl?me
.
v
Si
une
arr
.

e
acine
t
r
les
de
pro
,
2.
le
les
nom
et
bre
nom
r?el
sc
ositif
deux
p
t
e
v
est

la
nombr
norme
el
du
sont
v
mais,
ecteur
raisons
nombr
errons
(si
n'est
le
mani?re
rep
bres.
?re
plus

les
auquel
la
on
?
rapp
deux
orte
dire
le
ter
plan
r
ou
osition

1
est

orthonormal).
sur
On
?
v
tes
oit
satisfaisan
souv
suivante:
en
.
t
eectiv
la
du
notation
?taien
un
plus
est
par
que
nom
l'on
leur
n'ab
duit
ordera
D?nition
pas
L
plus
par
De
nom
qu'on
e
n'utilisera
pr
pas
Les
dans
bres

duit

alair
2.3.
de
Matrices.
p
2.3.1.
en
D?nitions.
s'organiser
Dans
un
notre
ecteur
?tude
ve
de
,
quelques
le
exemples
e
.
?
tr?s
d?ni
p
inhomog?nes
satisfaites:
1
suivantes
.
,
Mais
p
et
des
il
que
y
v
a
plus
une

op
pas
?ration
meilleure
ressem
d'organiser
blan
nom
tous
La
our
la
p
adapt?e
t
de
?
repr?sen
de
sous
la
forme
forme:
tableau
la
deux
m
et
ultiplication

qui
?
?
de
deux
repr?sen
v

ecteurs
matrice:
de
es
asso
2.1.

Prop
un
r
nom
Le
bre
de
r?el,
une
nous
ultiplication
a
les
v
ecteurs
ons
elation
pu
osan

n'admet
que
solution
la
te
mani?re
si
de
.
r?soudre
.
et
.
la
solution
de
syst?mes
.S (a,b,c,d;e,f)2,2
n m
n m
∗n,m ∈ N
A (i,j)
1≤ i≤ n 1≤ j≤ n a ni,j
m M (R)n,m
A∈M (R) An,m
 
a ... ... a1,1 1,m
 a a ... a2,1 2,2 2,m A = 
a a ... an,1 n,2 n,m
a2,1
n m
nm
n n
M (R) M (R)n,n n
n×n
i,j i =j
n×n In
 
1 0 0 ... 0
 0 1 0 ... 0 
 
 0 0 1 ... 0 I =n  
 
0 0 0 ... 1
1
A∈M (R) An
nX
tr(A) = a .i,i
i=1
particulier.
?tan

t,
.
g?n?ralemen
es
Plus
Soit
.
diagonale
syst?me
p
du
o
matrice
diagonale.
la
nombr
Le
la
terme
plus
ellera
.
app
lignes
qu'on
(?
7
te
est
diagonale
mis
ouple
sur
et
la
telles

ell?es
situ?e
ts
sur
?l?men
la
n
deuxi?me
,
ligne
ositifs
et
notion
la
3.
premi?re
ositifs.

.
Une
els)
matrice
la
est
des
donc
z?ros
un
p
tableau
app
de
ses
nom
tel
bres
bres
r?els
.
a
t
y
diagonale
an
Les
t
sur
A/B
t
lignes
diagonaux.
et
la
111
la

.
Cette
matrice
donn?e

est
,
?quiv
d?nir
alen
matrice
te

?
deux
la

donn?e
matric
de
.
THS
.
MA
r
la

de
On
ecteurs.
un
osez
n'a
eet
sur

que
v
de
t
si
aspirateurs
tout
15
,
d?les
trace
ts.
somme
un
ts
t
note:
il
et
ourra
r
ter
matrice
sto
que
k
.

son
matrice
app

la
?
de
un
matrice.
tableau
?l?men
de
plac?s
nom
la
bres.
son
Un
dits
v
ts
ecteur
En
?
de
es
matrice

ulle,
osan
matrice
tes
.
est
.
une
la
matrice
.
?
d?nie
matric
suit:
lignes
et
et
on
une
eut
seule
la

de
Un
?
autre
et

D?nition
particulier
Soient
m?rite
nombr
une
entiers
terminologie
p
sp
Une
?ciale.
e
tiers

2.3.2.
.

.
ets
.
matric

Certains
?
bles
suit:
donn?es
est
um?riques
repr?sen
repr?sen
.
t
joue
sous
r?le
?
Elle

que
et
donn?
lignes
la
el
et
.
des
Ses
hors
?l?ments
la
sont
Enn
app
e
el?s
our
ma-

tric
d'entiers
es
on

elle
arr
de
?
la
es
de
t
?l?men
p
diagonaux
.
on
.
.
Les
que

d'un
.
e
donn?s
deux
t
.
not?
nom
en
d'une
.
D?nition
Exemples
4.

L'ensemble
de
des
es.
est
ensem
olonnes
de

n
plus
se
t
ten
la
de
naturellemen
L'ensemble
sous
.
forme
?
matrice
que
est
not?
forme
nom
v
bres,
Supp
mais
en
il
un
est
t
imp
endan
ortan
des
t
de
psy-
mo

di?ren
hologiquemen
A
t
instan
et
donn?,
math?matiquemen
p
t
repr?sen
de
son
p

enser
d'aspirateurs
?
une15 i
i
30
15 30 j
j
n m
     
a ... a b ... b a +b ... a +b1,1 1,m 1,1 1,m 1,1 1,1 1,m 1,m
 a ... a   b ... b   a +b ... a +b 2,1 2,m 2,1 2,m 2,1 2,1 2,m 2,m     + = .     
a ... a b ... b a +b ... a +bn,1 n,m n,1 n,m n,1 n,1 n,m n,m
λ
   
a ... a λa ... λa1,1 1,m 1,1 1,m
 a ... a   λa ... λa 2,1 2,m 2,1 2,m   λ. = .   
a ... a λa ... λan,1 n,m n,1 n,m
0
tA = (a ) n m A = (b )i,j 1≤i≤n,1≤j,≤m i,j 1≤i≤m,1≤j,≤n
A m n bi,j
aj,i
 
1 4
1 2 3t  = 2 5 .
4 5 6
3 6
A∈M (R)n
t tA =A A A =−A
le
ks


t
sto
t
des
n
olution
fonctions
l'?v
matrices
t
ortan

n
plus
te,
suivre

de
,
ermettra
ten
p
?
lui
les
matrice
.
d'une
de
forme
t
la
y
sous
?tan
donn?es
eectue
les
en
Organiser
une
mois.
et
du

jour
pas
-?me
usuelle:
le
yp
k
antisym?trique

les
sto
.
au
un
t
ne
ondan
plus

,


ecteur
un
v
op
le
qui
.
fonctions
.
des
.
?
.
appara?t
.
ses
.
ne
.
p
.
lignes
.

t
aut
?tan
Ainsi,

donn?e
-?me
professionnelle
la
suiv

matric
et
suiv
lignes
si
?
.
t
si
?tan
2.4.
matrice
p
une
outil

.
jours
.
de
matriciel
mois
pas
un
statistique,
sur
en
olution
La
?v
not?e
son

ter
les
repr?sen
son
pr?f?rera
et
et
particulier.
k
une

imp
sto
transp
son
la
de
d'un
statique
matrices.
vision
qui
d'une

satisfaire
informatique
se
lignes
saurait
la
ne
un
t
de

et
le
que
t,
Si
tenan
la
Main
de
k.
a

est
sto
t
en
t
ts
tableur
pr?sen
d?nition
d?le
feuille
mo
dans
du
um?rique
d'aspirateurs
endre.
bre
ne
nom
la
le
La
t
te
?tan
5.
te

osan
t

tableur,
.
dite
.
seulement
.
formatiques
.
est
.
et
.
assidus
.
Op
.
statistiques.
.
our
-?me
t
ts
imp

.
Les
.
la
.
tes,
.
tes.
.
osan
soit


osan
que

s'?tonnera
?
on
ecteur
nature
450
t
?
souv
ecteur
le
v
matrice
un
ulle,
utilisateurs
t
les
est
parmi
don
(et
tous
.

THS
ts
MA
t
8
uls
On
joue
p
r?le
eut
Il
m
a
ultiplier
autre
une
?ration
matrice
ortan
par
la
un
osition,
nom
transforme
bre
matrice
r?el
tableur
donc
math?matiques
par
Les
la
des
r?gle:
son
de
donn?es
sa
sur
.
des
.
qui
.
programme
.
un
.
et
.
en
.
matrice
.
tableur
.
forme,
v
mise
oir
fonctions
quels
non
son
math?matiques
t
ses
les

mo
on
d?les
matrice.
qui
,
on
trans-
t
os?e
le
eet
plus
qui
de
en

et
que

s'il
don
.
le
.

.

.

.
v
.
par
.
d'un
.
de
.
.
a
une
v
ue
ait


n
sa
La
donn?e
surp
sous
devrait
la
actuelle
forme
vie
te:
dans
an
de
suiv
terminologie
r?gle
an
la
est
par
D?nition

Une
par
e

arr

e
d'un
an
et
l'exemple
lignes
e
v
est
?
sym?trique
matrices
et
les
si
additionner
de
eut
in-
p
programmes
On
dite
matrices.
si
les
seulement
sur
des
ectorielles
plus
v
?rations
A/B
111(A+B)+C = A+(B +C)
A+B = B +A
A+0 = A
λ.(A+B) = λ.A+λ.B
′ ′(λ+λ ).A = λ.A+λ.A
′ ′(λλ).A = λ.(λ.A)
0.A = 0
1.A = A
t t t(A+B) = A+ B
t t(λ.A) = λ. A
t t( A) = A
′A,B,C∈M (R) λ,λ ∈Rn,m
A∈M (R)n,m
mx∈R A x
nA.x∈R
    
a ... a x a x +a x +...+a x1,1 1,m 1 1,1 1 1,2 2 1,m m
 a ... a  x   a x +a x +...+a x 2,1 2,m 2 2,1 1 2,2 2 2,m m    = .    
a ... a x a x +a x +...+a xn,1 n,m m n,1 1 n,2 2 n,m m
A.x A
i
A.x i A
x
 
1
1 2 3  2 .
4 5 6
3
2
2 1×1+2×2+3×3 = 14
4×1+5×2+6×3 = 32
 
1
1 2 3 14 2 = .
4 5 6 32
3
A
A∈ M (R)1,m
de
bre
rapp
de
p
lignes
ue
de
.
et
.

au
dire
de
la
ecteur
est
ule:
ligne,
.
d'?tre



t,
sera
la
nom
r?gle
est
d'or
d?nit
est
le
que
?
p
our
our
.

?
la
THS
est
ligne
-?me
matrice

matrice
osan
tes
te
t?
de
de
Soit
Le
matrice.
nom
.
de
il
.
faut
v
prendre
d'un
la
est
de
.
-?me
la
ligne
2.5.
de
Ainsi
la
.
matrice
.
lignes
.
et
.
en
v?rient
la
A/B
lisan
faisan
t
ligne
de
?
gauc
,
he
o?
?
?r
droite
osan
faire
et
la
repr?sen
somme

des

pro
nom
duits
bres.
a
premier
v

ec
bres
les
bre

lignes
de
par
,
On
du
le
v
ecteur
ecteur
v
bre
,
lu

de
he
haut
.
en
gauc
bas.
par
Prenons
form
un

exemple,
.
soit
.
?
:

arithm?tiques:
nom
.
le
.
que
.
Notez
.
Notez
gles
que
r
le
.
nom
les
MA
ations
bre
111
de
Le

se
de
t
une
par
est
par
?gal
ort
Le
la
v
9
ecteur
le
r?sultat
particulier
du
la

Th?or?me
aura
2.
nom
?gal
op
au
Ces


ts
?
.
o?
P
matrice
our
une
eectuer
m?rite

regard?
 
x1
 x  2 y y ... y = y x +y x +...+y x .1 2 m 1 1 2 2 n n 
xm
A
ty = A A.x (y;x)
A.(λx+μy) = λA.x+μA.y
(λA+μB).x = λA.x+μB.x
mA,B∈M (R) x,y∈R λ,μ∈Rn,m
Ax A.x x.A n = m = 1
xA = Ax
n m
n m
mA∈ M (R) x∈Rn,m
Ax =0
   
a ... a x a x +a x +...+a x = 01,1 1,m 1 1,1 1 1,2 2 1,m m  a ... a x a x +a x +...+a x = 02,1 2,m 2 2,1 1 2,2 2 2,m m   =0⇔ .    = 0
a ... a x a x +a x +...+a x = 0n,1 n,m m n,1 1 n,2 2 n,m m
n m
nA∈M (R) b∈Rn,m
mx∈R Ax =b
    
a ... a x b1,1 1,m 1 1
    a ... a x b2,1 2,m 2 2    = ⇔    
a ... a x bn,1 n,m m n
te
n'y
sera
il
onnues

homo

.
de
et
Hors

.
.
t
.
.
g?ne
.
ve
.
est
.
e
.

.
D?nition
.
de
.
un
.
matriciel
d?termin?
lin?
par
quations
un
la
nom
quation
d?g?n?r?
?

onnue
le
donn?
dans
.
que

d?ni
?

syst?me
n'est
?
bre.
.
Le


(inhomog?ne)
que
t
Notez
de
.
de
est
e
simple:
e
.
THS
duit
111
pro

.
e
.
onnue
.
est
le
ve
l'?quiv
Le
.
quation
.
ve
noter
v
?
p

la
qui
notera
notation
an
de
onnues
l'abus
?
de
de
inoensif
air

L
le

t
.
justien
.
r?gles
.
Ces
?
.
sera
Or,
osan

lin?aire
expression
qu'est
est
.

relation
,
an
utilis?e
pro
dans
La
la
.
d?nition
syst?me
du
air
pro
inhomo
,
de
duit
?
scalaire
?
de

deux
asso
v
?
ecteur
matric


La
un
matrice

ligne
l'?
(on
A/B

au
ave

dit
part.
aussi
r?sultat
le
l'?
v

ecteur
un
notera

p
un
eut
ecteur
?tre
e

ar
v
matric
ertie
?
en
On
le
l'?quiv
v
suiv
ecteur
te:

asso
et
pire
l'unique
?

quations

une
t
g?ne
.
e
.
lin?
.
e
de
6.
est
ues.
le

On
?quations
.
.
fausse:
.
pro
.
non
.
duit
pas
scalaire
sens
d?nie!
?crire
2.6.
donc
ar
et
.
,
p
de
Th?or?me
que
3.
syst?me
L
te:
es

r
ais?men
elations
.
e
une
donn?
formaliser
est
ermet
a
p
syst?mes
duit
Matrices
suiv
v?ri?
notion
es:
lin?aires.
D?nition
.
7.
qui
L
suivantes
et
MA
sont
10
ligne)

Un pour Un
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