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CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE
Emmanuel Peyre
Résumé. — SoitVune variété de drapeaux généralisée sur un corpsk. Il existe alors des extensions finieskidekpour16i6m, des élémentsαidu groupe de Brauer dekiet une suite exacte naturelle m N( Mk /k.αi)  3 3 2 i k−−−−−−−→KerH(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2))CH (V)tors0. i i=1 i H(k,Q/Z(2))désigne le groupe de cohomologie galoisienne à valeur dansQ/Ztordu deux 2 fois etCH (V)le groupe de Chow des cycles de codimension deux modulo l'équ ivalence ration-nelle.
s Abridged English Version– For any fieldLwe denote byLa separable closure ofL. For s i any discreteGal(L /L)-moduleM,H(L, M)is the Galois cohomology group of degreei with coefficients inM. IfLis a finite extension ofL, we denote byNthe corestriction L /L iimap fromH(L , M)toH(L, M). Ifabelongs tokfor16i6nthen(a)denote i i 1 their images inH(k,Z/2Z)and(a , . . . , a)the cup-product(a)∪ ∙ ∙ ∙ ∪(a). The Galois 1n1n i cohomology groups with coefficients inQ/Ztwisted twice are denoted byH(L,Q/Z(2)) and the Brauer group ofLbyBrL. s LetVbe an integral smooth variety over a fieldL. ThenVdenotes the productV× SpecL s i SpecL. The function field ofVis denoted byL(V). The groupCH (V)is the Chow group of cycles of codimensionimodulo rational equivalence. For anyi>0, the sheafKis the i sheaf for Zariski topology corresponding to the presheaf which maps an open setUtoK(U), i thei-th group of Quillen'sK-theory. A generalized flag variety overLis a projective variety overLwhich is homogeneous under the action of a connected linear algebraic group. Theorem1. —LetVbe a generalized flag variety over a fieldk. LetGbe the Galois group s s ofkoverk. Then the Picard group ofVis a permutation module. Thus it may be written as L n Z[G/H]where the groupsHare open subgroups ofG. Letkbe the corresponding i=1ii i fields. There exist elementsαofBrkand a natural complex i i m M Nk /k(.αi) 3 3 i k−−−−−−→H(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2)) i i=1
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.321(1995), 891–896