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Cours
de
mathématiques fondamentales 1année, DUT GEA
Mourad Abouzaïd
9
décembre
2008
2
Table des matières
Introduction 0 Rappels d’algèbre élémentaire 0.1 Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1 Développer, factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Manipulation des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.2 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.1 Multiplication et division de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.2 Simplification d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.3 Addition de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Systèmes linéaires, programmation linéaires 1.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Les systèmes2×2. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Méthode par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Méthode par combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Les différents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Le Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Objectif du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Opérations autorisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Mécanisme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Les différents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Systèmes d’inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 13 15 15 16 17 18 18 18 19 19 20 21 22 22 23 23 25 26 26
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TABLE DES MATIÈRES
1.8 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Une méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Le simplexe en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d’une fonction d’une variable réelle 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coût total, coût moyen, coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Coût moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Étude qualitative des différents types de coûts . . . . . . . . . . . . 2.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Interprétation de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Calcul de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Élasticité et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Élasticités croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites 3.1 Définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Définition explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Variations d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Variations d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 32 37 38 41 41 41 41 42 43 43 44 46 47 47 47 48 48 53 53 54 55 55 56 57 57 57 58 58 58 59 59 59 60 61 61 61 62 62 63
TABLE DES MATIÈRES
4
4.2
Fonctions exponentielles et logarithmes 4.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Deux fonctions exponentielles particulières . Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . 4.2.3 Le logarithme népérien . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Changement de base d’exponentielle . . . . Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes
4.3
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65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 70
6
TABLE
DES
MATIÈRES
Introduction
Beaucoup de problèmes concrets, notamment en terme de gestion peuvent se traduire en problèmes mathématiques. C’est ce que l’on appelle la mise en équation. On dispose alors de toute une batterie d’outils et de techniques mathématiques pour résoudre ce pro-blème. Dans ce cours, on commencera par revoir quelques techniques de calcul de base, indispensable à n’importe quelle étude mathématique. On verra ensuite trois outils parti-culiers, et quelques applications :
– les systèmes linéaires, que l’on appliquera à la progression linéaire (un problème d’optimisation), les fonctions d’une variable réelle (continuité, dérivée, fonctions usuelles), que l’on appliquera à des problèmes d’analyse marginale et d’élasticité. – les suites arithmétiques et géométriques que l’on appliquera à du calcul d’intérêts.
7
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