Cours Doctoral Méthodes numériques en Plasticité

Cri

Description

Colloque National MECAMAT 2008
er
Aussois du 28 janvier au 1
février 2008
Cours Doctoral:
Méthodes numériques en
plasticité
G.D.
K. Saanouni
Professeur,
Mécanique des solides et des
structures
1
saanouni
@
utt.f
rAvertissement
Ce cours de 2 heures destiné
aux doctorants,
introduit très sommairement les principales
étapes de résolution numérique des problèmes
de plasticité
GD par EF en supposant connue la
MEF pour les problèmes linéaires.
Une liste d’ouvrages récents et spécialisés en la
matière est fournie (voir les références en fin du
document). Elle permet d’approfondir tous les
aspects brièvement évoqués dans ce cours.
2Plan
•
Introduction
•
P
ose du PVIL
•
F
orme faible du PVIL
•
Résolution du PVIL par EF
•
C
alcul des contraintes (intégration numérique
des équations de comportement)
•
C
alcul des rotations et objectivité
incrémentale
•
Q
uelques références
3Introduction
Les principales non linéarités en mécanique des solides:
•
M
atérielles: comportement matériel non linéaire:
hyperélasticité, élasticité
linéaire endommageable,
viscoélasticité, thermoélastoplasticité,
thermoélastoviscoplasticité, …. relations de frottement
non linéaires, …
•
C
inématiques: non linéarité
des relations déformation-
gradient des déplacements …
non unicité
des
mesures des déformations et des contraintes en GD
…
grandes variations du domaine de résolution, …
•
C
onditions limites variables: contact variable en cours
de résolution (formage par GD)
4Pose du ...

Sujets

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• cours de

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• Langue: Catalan

Extrait

Colloque National MECAMAT 2008 Aussois du 28 janvier au 1 er février 2008

Cours Doctoral: Méthodes numériques en plasticité G.D.

K. Saanouni Professeur, Mécanique des s structures saanouni utt.fr

olides et des 1

Avertissement

Ce cours de 2 heures destiné aux doctorants, introduit très sommairement les principales étapes de résolution numérique des problèmes de plasticité GD par EF en supposant connue la MEF pour les problèmes linéaires.

Une liste douvrages récents et spécialisés en la matière est fournie (voir les références en fin du document). Elle permet dapprofondir tous les aspects brièvement évoqués dans ce cours.

2

Plan

Introduction Pose du PVIL Forme faible du PVIL Résolution du PVIL par EF Calcul des contraintes (intégration numérique des équations de comportement) Calcul des rotations et objectivité incrémentale Quelques références

3

Introduction

Les principales non linéarités en mécanique des solides:  Matérielles: comportement matériel non linéaire: hyperélasticité, élasticité linéaire endommageable, viscoélasticité, thermoélastoplasticité, thermoélastoviscoplasticité, . relations de frottement non linéaires,   Cinématiques: non linéarité des relations déformation- gradient des déplacements  non unicité des mesures des déformations et des contraintes en GD  grandes variations du domaine de résolution,   Conditions limites variables: contact variable en cours de résolution (formage par GD)

4

Pose du PVIL

Problème aux valeurs initiales et aux limites (Forme locale):

ant:

Trouver le champs u  (  x  i  ,  t  )  s  u  r  Ω  t  =  Ω  ×  0  ,  T ] vérifi  Les équations déquilibre div( u σ  )fργ−=0 &  Les relations cinématiques L=F.F 1

Les équations du comportement (EDO NL couplées)

Les conditions:  initiales sur tous les champs  aux limites (mixtes): σ  .  n  T  sur sur U U

∂Ω F ∂Ω U

avec: Ω U ∪ ∂Ω F Ω U ∩ ∂Ω F

= ∂Ω = ∅ 5

Forme faible du PVIL: le PPV

Trouver le champs u  (  x  i  ,  t  )  ∈  ℘  t  vérifiant: r r r − ∫ σ:D ˆ dΩ + ∫ f v .V ˆ dΩ + ∫ T.V ˆ dS− ∫ ργ.Vd ˆ Ω =0∀V ˆ ∈℘ t Ω t Ω t ∂ΩFΩ t

dans lequel u    satisfait les équations constitutives décrivant le comportement du solide.

6

Exemple de comportement

Elastoplasticité à écrouissage isotrope et cinématique non linéaires: = σ −X−R−σ y ≤0avecσ −X= σ −X:H:σ −X σ & = Λ:D−D p avec D= ε & eJ +D p

& D p = λn

H:σ −X avec n= σ −X

X 2 C = α 3

& ,α=D p −aαλ &

et

R=Qr

,

& r & = λ(1−br)

avec ( - ) variable tournée par une rotationQ(t)

7

8

- ordre 4: Q⊗Q T :T:

Q T ⊗Q

Rotation des variables tensorielles:  Ordre 2: T=Q T .T. Q T=

Evolution de la rotation Q  (  t  )  :

Exemple de comport

T =W Q avec Q(t 0 )=1

& Q.Q

.T

ement (suite)

& =T+T.W Q

−W Q

T . . Q T Q T dt ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ Q

Dérivée rotation D n D Q e t T lle = : Q ⎣ ⎢ ⎡ dt dT ⎥ ⎦ ⎤ Q T = Q ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ d ⎤ ou d dt T =Q T ⎣ ⎢ ⎡ D D Q t T ⎦ ⎥ Q

 

Formulation en référentiel tournant

C 0

p

C p   t

V p

p

C t

Q

Q

Q

e

C t

V e

Résolution du PVIL par EF

r ℑ = − ∫ σ:D ˆ dΩ + ∫ f v .V ˆ dΩ + ∫ T.Vd ˆ S− Ω t Ω t ∂ΩF Deux possibilités:

r r ∫ ργ.Vd ˆ Ω =0∀V ˆ ∈℘ t Ω t

Linéariser ℑ par dérivation directionnelle (dérivée de Gateaux) puis discrétiser par EF afin daboutir à un système algébrique linéaire  Discrétiser ℑ  par EF pour obtenir un système algébrique non linéaire quil faudra résoudre itérativement par une procédure de Newton-Raphson 10

Discrétisation spatiale par EF

Discrétiser le domaine en Ne sous domaines ou EF. Sur chaque EF (e): u e ⎣ = ⎡ N n e (ξ i ) ⎦ ⎤ u n e & e = ⎡ n e ( i ) ⎤ & n e e u ˆ e ⎡ = ⎣ N e (ξ) ⎤ ⎦ u ˆ e u u & ˆ e ⎣ ⎡ ⎣ = N N n e (ξ ξ i ) ⎦ ⎤ ⎦ u u & ˆ e n & u &⎡ = ⎣ N e n (ξ i ) ⎤ ⎦ & u & e n n i n e ⎡ = ⎣ B e n ⎤ u & e n ⎦ ˆ e = ⎡ ⎣ B e n ⎤ ⎦ u & ˆ e n

e ℑ =

⎡ ⎣

e ⎤ ⎦

ü e n

+

F in e t

−

F e ext

& u ˆ e n

11