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Colloque National MECAMAT 2008 Aussois du 28 janvier au 1erfévrier 2008
Cours Doctoral: Méthodes numériques en plasticité G.D.
K. Saanouni Professeur, Mécanique des s structures saanouni utt.fr
olides et des 1
Avertissement
Ce cours de 2 heures destiné aux doctorants, introduit très sommairement les principales étapes de résolution numérique des problèmes de plasticité GD par EF en supposant connue la MEF pour les problèmes linéaires.
Une liste douvrages récents et spécialisés en la matière est fournie (voir les références en fin du document). Elle permet dapprofondir tous les aspects brièvement évoqués dans ce cours.
2
Plan
Introduction Pose du PVIL Forme faible du PVIL Résolution du PVIL par EF Calcul des contraintes (intégration numérique des équations de comportement) Calcul des rotations et objectivité incrémentale Quelques références
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Introduction
Les principales non linéarités en mécanique des solides:  Matérielles: comportement matériel non linéaire: hyperélasticité, élasticité linéaire endommageable, viscoélasticité, thermoélastoplasticité, thermoélastoviscoplasticité, . relations de frottement non linéaires,   Cinématiques: non linéarité des relations déformation-gradient des déplacements  non unicité des mesures des déformations et des contraintes en GD  grandes variations du domaine de résolution,   Conditions limites variables: contact variable en cours de résolution (formage par GD)
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Pose du PVIL
Problème aux valeurs initiales et aux limites (Forme locale):
ant:
Trouver le champsu(xi,t)surΩt=Ω×0,T]vérifi  Les équations déquilibrediv(uσ)fργ=0 &  Les relations cinématiquesL=F.F1
Les équations du comportement (EDO NL couplées)
Les conditions:  initiales sur tous les champs  aux limites (mixtes):σ.nT sur sur U U
∂ΩF ∂ΩU
avec: ΩU∪ ∂ΩF ΩU∩ ∂ΩF
= ∂Ω = ∅5
Forme faible du PVIL: le PPV
Trouver le champsu(xi,t)t vérifiant: r r r σ:DˆdΩ +fv.VˆdΩ +T.VˆdSργ.VdˆΩ =0Vˆ∈℘t ΩtΩt∂ΩFΩt
dans lequelu satisfait les équations constitutives décrivant le comportement du solide.
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Exemple de comportement
Elastoplasticité à écrouissage isotrope et cinématique non linéaires: = σ −XR−σy0avecσ −X= σ −X:H:σ −X σ&= Λ:DDpavec D= ε&eJ+Dp
& Dp= λn
H:σ −X avec n= σ −X
X2C = α 3
& ,α=Dpaαλ &
et
R=Qr
,
& r&= λ(1br)
avec (-) variable tournée par une rotationQ(t)
7
8
- ordre 4: QQT:T:
QTQ
Rotation des variables tensorielles:  Ordre 2: T=QT.T.Q T=
Evolution de la rotationQ(t) :
Exemple de comport
T=WQavec Q(t0)=1
& Q.Q
.T
ement(suite)
& =T+T.WQ
WQ
T . . Q T QT dtQ
Dérivée rotationDnDQetTlle=:QdtdTQT=Qd ouddtT=QTDDQtTQ
 
Formulation en référentiel tournant
C0
p
Cp t
Vp
p
Ct
Q
Q
Q
e
Ct
Ve
Résolution du PVIL par EF
r ℑ = −σ:DˆdΩ +fv.VˆdΩ +T.VdˆSΩtΩt∂ΩF Deux possibilités:
r r ργ.VdˆΩ =0Vˆ∈℘t Ωt
Linéariserpar dérivation directionnelle (dérivée de Gateaux) puis discrétiser par EF afin daboutir à un système algébrique linéaire  Discrétiser par EF pour obtenir un système algébrique non linéaire quil faudra résoudre itérativement par une procédure de Newton-Raphson 10
Discrétisation spatiale par EF
Discrétiser le domaine en Ne sous domaines ou EF. Sur chaque EF (e): ue=Nne(ξi)une&e= ⎡ne(i)&nee uˆe=Ne(ξ)uˆeuu&ˆe=NNne(ξξi)uu&ˆen&u&=Nen(ξi)&u&en n i n e=Benu&en ˆe=Benu&ˆen
e ℑ =
e
üe n
+
Finet
Feext
& uˆen
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