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Cours Nombre premier et PPCM

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Terminale S – Spécialité Cours : NOMBRES PREMIERS - PPCM. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : • savoir déterminer si un entier est premier en utilisant le • savoir déterminer le PPCM et le PGCD de deux entiers nombre minimal de divisions par la suite des nombres naturels à partir de leur décomposition en facteurs premiers. premiers. • savoir utiliser le lien entre le PPCM et le PGCD de deux • savoir décomposer un entier en produit de facteurs entiers naturels. premiers. • savoir utiliser une calculatrice pour déterminer la • savoir utiliser la décomposition en produits de facteurs décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel. premiers dans les problèmes de divisibilité. • savoir résoudre des équations ou systèmes d’équations où • connaître le PPCM de deux entiers naturels. interviennent le PGCD et le PPCM de deux entiers. I. Nombres premiers. 1. Définition et exemples. Définition 1 : On dit qu’un entier naturel n est premier s’il possède exactement deux diviseurs dans . Cela revient à dire que l’entier naturel n est premier si ses diviseurs sont 1 et n. Exemples : • 0 et 1 ne sont pas premiers • 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers. Remarques : • Ne pas confondre nombre premier et nombres premiers entre eux. • Si p est un nombre premier et n un entier, ou bien p divise n ou bien p est premier avec n. • Un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’est pas premier est dit composé. Propriétés : 1.
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Terminale S – Spécialité
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A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : ·savoir déterminer si un entier est premier en utilisant le·savoir déterminer le PPCM et le PGCD de deux entiers nombre minimal de divisions par la suite des nombres naturels à partir de leur décomposition en facteurs premiers. premiers.·savoir utiliser le lien entre le PPCM et le PGCD de deux ·savoir décomposer un entier en produit de facteurs entiers naturels. premiers.·savoir utiliser une calculatrice pour déterminer la ·savoir utiliser la décomposition en produits de facteurs en facteurs premiers d’un entier naturel. décomposition premiers dans les problèmes de divisibilité. ·savoir résoudre des équations ou systèmes d’équations où ·connaître le PPCM de deux entiers naturels. interviennentPGCD et le PPCM de deux entiers. le           On dit qu’un entier naturel n ests’il possède exactement deux diviseurs dans .  
Cela revient à dire que l’entier naturel n est premier si ses diviseurs sont 1 et n.
  ·0 et 1 ne sont pas premiers ·2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers. !  ·Ne pas confondre nombre premier et nombres premiers entre eux. ·Si p est un nombre premier et n un entier, ou bien p divise n ou bien p est premier avec n. ·Un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’est pas premier est dit".     Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier. # Tout entier naturel non premier n différent de 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤ $ Il y a une infinité de nombres premiers.   
n. 
 Propriété 1 Soit n un entier strictement supérieur à 1. · Si n est premier, il admet lui7même comme diviseur premier. ·Si n est composé, il admet d‘autres diviseurs que 1 et n ; soit p le plus petit d’entre eux  . Alors p est premier ; sinon, il serait composé et il admettrait un diviseur d tel que 1 < d < p ; mais d serait alors un diviseur de n plus petit que p, ce qui est impossible. Donc, p est premier et n admet p comme diviseur premier.  
Propriété 2 Soit n un entier composé strictement supérieur à 1. n admet un diviseur d autre que 1 et n. Alors n = d´d’ avec d’ > 0. d est supérieur ou égal à 2. d' est aussi supérieur ou égal à 2, car si d’ = 1 alors on aurait n = d.
1  
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