Exercices - Séries numériques - étude théorique : corrigé

Sujets

• exercice
• exercices

Informations

• Publié par: ywijabiv
• Nombre de lectures: 4 914
• Langue: Français

Extrait

Exercices - Séries numériques - étude théorique : corrigé

Exercice 1 - Théorème des gendarmes pour les séries-L2/Math Spé-? La preuve est assez simple, mais il est aussi facile d’écrire des btises ! Une bonne justification P e la sérieerge, il peut se faire à l’aide du critère de Cauchy. Fixonsε >0. Puisqu n u n conv existe un entierN 1 tel que, pour tousq≥p≥N 1 , on a q X u n ≤ε.   n=p P De mme, puisqe verge,il existe un entierNtel que, pour tousq≥p≥N, ue la séri n w n con 2 2 on a q X w n ≤ε.  n=p PrenonsN= max(N 1 , N 2 )etq≥p≥N. De l’inégalité q q q X X X u n ≤v n ≤w n , n=p n=p n=p on tire  ! q qq X XX v n ≤maxu n , w n ≤ε   n=p n=p n=p (on a utilisé quex≤y≤z=⇒ |y| ≤max(|x|,|z|)). Ceci prouve bien, par le critère de Cauchy, P la convergence de n v n . Exercice 2 - Avec une puissance-L2/Math Spé-? P 1. Puisquela sérieu n converge, la suite(u n )converge vers zéro. Il existe donc un entier n N≥0tel que, pourn≥N, on a0≤u n ≤1. Puisqueα >1, on a alors, pourn≥N, α 0≤u≤u n . Puisque l’on travaille avec des séries à termes positifs, ceci entraine la n P α convergence deu. n≥1 n 2. Deuxcas sont possibles : α rs 0. Dans ce cas, la suite(u)conv – oubien(u n )ne converge pas ve n pas non plusne erge P α vers 0, et donc la sérieudiverge ; n n – oubien(u n )converge vers 0. Dans ce cas, il existe un entierNtel que, pour toutn≥N, α on a0≤u n ≤1. Puisqueα∈]0,1[, on en déduit que0≤u n ≤u n . P α Ainsi, la sérieuest aussi divergente. n n Exercice 3 - Deux séries de mme nature-L2/Math Spé-?

2 1. Il suffit d’étudier la fonction. Sa dérivée estx7→1/(1 +x)≥0, donc la fonction est croissante. 2. On distingue deux cas : si(u n )tend vers 0, alorsu n ∼ +∞ v n , et ces deux suites sont P P etv positives. Par le critère d’équivalence, on en déduit que les séries n u nn n ont la P mme natureque qudiverg . Si(u n )uene tend pas vers 0 (ce qui impli n n e), alors, il existeε >0tel que, pour toutN∈N, il existen≥Ntel queu n ≥ε(rappelons que u n ≥0). Mais alors, d’après la première question, on av n ≥ε/(1 +ε)>0, et donc la suite P (v)est aussi divergente, et danne converge pas vers 0. Ainsi, la série n n v n s ce cas, les P P vont bie sériesu n et n n n la mme nature. n

http://www.bibmath.net

1