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Mathematiques´ assistees´ par ordinateur
Chapitre 5 : Dev´ eloppement de Taylor et ser´ ies entieres`
Michael Eisermann
´Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao
`Document mis a jour le 6 juillet 2009Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
2 4! 6!
Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k
2 Dev´ eloppement infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k
2 Dev´ eloppement infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
2 4! 6!Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k
2 Dev´ eloppement infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
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Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k
2 Dev´ eloppement infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
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3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
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Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ?Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k
2 Dev´ eloppement infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
2 4! 6!
Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :P1 k
2 Dev´ eloppement infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
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Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.
Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
2 4! 6!
Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k2 Dev´ infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0Objectif : des polynomesˆ aux ser´ ies
Rappel : avec les quatre oper´ ations arithmetiques´ +, ,,=
on peut construire des polynomesˆ et des fractions rationnelles.
Prochaine etape´ : construire des fonctions plus gen´ er´ ales comme
2 3 4x x xexp(x) = 1+x+ + + +:::
2 3! 4!
2 3 4x x xln(1+x) =x + +:::2 3 4
3 5 7x x xsin(x) =x + +:::3! 5! 7!
2 4 6x x xcos(x) = 1 + +:::
2 4! 6!
Probleme` : quel sens donner aux trois petits points « . . .» ?
Comment rendre ces formules rigoureuses ? Deux possibilites´ :
Pn k1 Dev´ eloppement fini : polynomeˆ de Taylor a x + erreur !kk=0
P1 k2 Dev´ infini : ser´ ie entiere` a x + convergence !kk=0
Les deux approches sont tres` importantes dans les applications.Sommaire
´1 Developpement de Taylor
2 Ser´ ies formelles et ser´ ies entieres`
3 Implementation´ de fonctions usuelles

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