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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre 2 : Notions d’analyse
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009
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Objectifs de ce chapitre
Les connaissances, surtout en mathe´ matiques, se construisent et se transmettentleplusefcacementpardese´tapesbienorganis´ees, chaque´etapefaisantappel`adese´tapespre´c´edentes,parn´ecessit´e logique ou bien dans l’objectif de tisser des liens profitables.
Ainsicecourssebasesurlesmath´ematiquesquevousavez acquises,jele`nd´ebutdelicence:langagemath´ematique, spere, e calculalg´ebrique,etnotammentdesargumentsdanalyse.
Cechapitrerappelle/pr´esentequelquesnotionsdebasequisont indispensablespourlanalysemath´ematique.Lobjectifestdevous guider dans votre re´ vision/approfondissement. Ceci vous donne un pointded´epart,puisdevraitvousencourager`aallerplusloin.
Comme outils indispensables pour l’analyse nous discutons ici la convergencedessuitesetdess´eries,puislesnotionsdecontinuite´ etdede´rivabilit´edesfonctions.Lesr´esultatsfondamentauxsont xk ensuiteapplique´spour´etudierlexemplephareexp(x) =Pk=0k!, qui est sans doute la fonction la plus importante en mathe´ matiques.
Il existe de nombreux ouvrages d’analyse. En voici un que j’aime : Walter Rudin :Principes d’analyse mathe´ matique, Dunod, Paris 2002.
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Sommaire 1quri´eumestesetiuSnseire´s Nombres re´ els, suites re´ elles, convergence, crite` res Nombres complexes, suites complexes, convergence, crite` res S´eriesnum´eriques,convergence,crite`res Fonctions continues D ´ finition et exemples e Leth´eor`emedesvaleursinterme´diaires Leth´eor`emedumaximum Fonctionsd´erivables De´ finition et exemples Leth´eor`emedesaccroissementsnis Fonctionde´rive´eetcrit`eredemonotonie ´ Etude de la fonction exponentielle Propri´et´esdelafonctionexponentielleexp :CC Le logarithmeln :R>0Ret puissances re´ elles Fonctions trigonome´ triques et racinesn complexes-ie` mes Le the´ ore` me de Gauss–d’Alembert
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§1.
Corps Lesnombresr´eelsformentunensembleRmuni de deux ope´ rations, l’addition+ :R×RRet la multiplication:R×RR. Le triplet (R,+,)est uncorps,cseir-d`at-joilueqrpsedtiu´te´irpoivanessutes:
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(A1 : associativite´ ) (A2 : commutativite´ ) (A3:´ele´mentneutre) (A4:el´ementoppose´) ´
a, b, cR: (a+b) +c=a+ (b+c) a, bR:a+b=b+a 0RaR: 0 +a=a aRbR:a+b= 0
(M1:associativit´e)a, b, cR: (ab)c=a(bc) (M2 : commutativite´ )a, bR:ab=ba (M3:´ele´mentneutre)1R,16= 0aR: 1a=a (M4:e´l´ementinverse)aR, a6= 0bR:ab= 1
(D : distributivite´ )
a, b, cR:a(b+c) = (ab)+(ac)
Remarque:Vousavezpeut-ˆetrerencontre´lanotiondecorpsen alg`ebrelin´eaire.Elleregroupebeaucoupdexemples,dontles nombres rationnels(Q,+,)sleer´,(R,+,)ou complexes(C,+,).
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§1.
Corps ordonnes ´ Lesnombresre´elssontordonn´es:ondistinguedese´le´mentspositifs, note´sx >0e`inocer,amed:satiop´ercorpnsdubielpmtaelosvace 1Pour toutxRon a soitx >0soitx= 0soitx >0. 2Six >0ety >0, alorsx+y >0ainsi quexy >0.
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On de´ finit l’ordre strictx > yparxy >0. L’ordre faiblexyveut dire quex > youx=yxevi´reeetse;llvetint,atre,sianeuqi.mysirte´ L’ordre inversex < y par finiest de´y > x, etxyveut dire queyx.
Les intervalles dansR comme suit :sont note´ s
[a, b] :={xR|axb},]a, b] :={xR|a < xb}, ]a, b[ :={xR|a < x < b},[a, b[ :={xR|ax < b}.
Pour toutxRsbareulorapond´enitlavaleu|x|:=xsix0et par |x|:=xsix0e´te´irptnaviuss:es.reinO´v´emeeaissprontle |x| ≥0, et|x|= 0si et seulement six= 0. |x+y| ≤ |x|+|y|pour toutx, yR. |xy|=|x| ∙ |y|pour toutx, yR.
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Bornessup´erieureetinf´erieure Une partieARestmajore´ eparmRsiampour toutaA. Dans ce cas on dit aussi quemest unmajorantdeA. On dit quesRest laborne superieuredeAsisest le plus petit ´ majorant deA e. Si elle existe, elle est unique et sera note´s= supA. SiA ´n’est pas majorA= +. ee on posesup Pour l’ensemble vide on posesup=−∞. Demanie`resym´etriqueond´enitminorantetborne infe´ rieure. Une partie estborne´ e´lleesielafost`aon´rsiimamojeete ree. Exemple : pourA={1,21,31,41,15, . . .}on asupA= 1etinfA= 0. Exemple : la partieA={aQ|a22}ajor´eemestmtemdansia pas de borne supe´ rieure dansQ. DansRon asupA=2. The´ore`me(caract´erisationdesnombresr´eels,admis) Les nombres re´ els forment un corps ordonne´(R,+,,)tel que toute partie non vide majore´ e deReiru´preetnenuusbaermodsedanR. Toutcorpsayantcettepropri´ete´estcanoniquementisomorphea`R. §1.1 6/68