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Notes de cours
S´eriesnum´eriques
PC,Lyce´eDupuydeLoˆme
1Ge´ne´ralit´es 1.1D´enitions De´nitionSoit (un)n0.sundeteuiesuoslee´rexelpmoc Onappellesommepartielledelas´eriedetermege´n´erale(un)n0la suite (SN)N0ein´d:epar N X N0, SN=un n=0 Onditquelas´eriedetermege´n´eral(un)n0est convergente lorsque la suite (SN)N0converge et dans ce cas, on note : +N X X un= limun N+n=0n=0 Danslecascontraire,onditquelase´rieestdivergente. RemarqueLonact:ene,esemretsreimerpsependpasdriened´ednusee´evgrneec N N01N X XX NN0, un=un+un n=0n=0n=N0 RemarquePour toutn1,un=SnSn1 RemarqueSiun0, la suite (SN)N0est croissante. Ainsi elle converge si et seulement si elle est major´eeetlorsqueellediverge,elletendvers+Proposition(divergencegrossi`ere)Soit (un)n0ed´reeslnuseiuetxes.oucomple P Silase´rieunconverge, la suite (un)n0tend vers 0 P – Sila suite (un)n0einetenversdpass´er0,laundviD.nareegre´seiecsconastqdileue divergegrossi`erement. P n ExempleLsae´ire(1) diverge P De´nitionSoit (un)n0uetelqexesomploscue´ledereustineuunconverge. On appelle reste de P lase´rieun, la suite (RN)N0: +X RN=un n=N+1 RemarqueLa suite (RN)N0tend vers 0 1.2 Exemples P n Exemple(Se´rieg´eome´trique)SoitaC.reeiaL´saconverge si et seulement si|a|<1 et +X 1 n a= 1a n=0
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Exemple(Se´riete´lescopique)elt´coesarP:sreemedtsapeg X 1 = 1 n(n+ 1) n=1 Exemple(Se´rieharmoniquealtern´e)afclmuordeleylTavaroerceietse´tngvrealAe: +n1 X (1) = ln(2) n n=1 1.3Ope´rationssurless´eries PropositionSoit (un)n0et (vn)n0pmocexelee´ruoslSos.itedxuseedustiλC P PP Silesse´riesunetvnoc(e,las´erinvergentun+vn) converge et +++X XX (un+vn) =un+vn n=0n=0n=0 P P Silas´erieune(ergeconv´eri,lasλun) converge et : ++X X λun=λ un n=0n=0 P PP Silase´rieune´ireconvergeetlasvnidevgr,es´laieer(un+vn) diverge. PreuveRevenir aux sommes partielles. P 1n Exemple(eire´saLn+ (1) )diverge 2 P PropositionSoit (zn)n0une suite de complexes,zn=an+ibn,an, bnR´easeri.Lznconverge P P sietseulementsilesse´riesanetbnet dans ce cas : +++X XX zn=an+i bn n=0n=0n=0 ExempleSoitθR. Calculer ++X X cos() sin() , n n 2 2 n=0n=0 1.4Comparaisonse´rie-inte´grale Th´eor`emeSoitf: [0,+[RlAro:suocnonitnofenitcnsaise.ntd´ueroec ZnZ n+1n X n1, f(t)dtf(k)f(t)dt 1 0 k=1 PreuveFaire un dessin RemarqueLorsquefsseneuartsnlntdaessolit´´egal,etniseiorcnassste RemarqueLorsquefn’est continue que sur [1,+calerlesbornes[i,fluadte´ Application:e´quivalentdesommespartiellesival´eque(entdTrenuorvuSn) : n X 2 Sn= (ln(k)) k=1 Application:´equivalentderestesalentde(e´nuviuqorTrevuRn) : +X 1 Rn= 2 kln (k) k=n+1
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2Crit`eresdeconvergencepourlesse´ries`atermespositifs 2.1S´eriesdeRiemann P 1 The´ore`me(Se´riesdeRiemann)SoitαRire´sal,eαconverge si et seulement siα >1 n Preuve :.elaromrcrapaPanieige´tnosire´s Culture :peunraerarstluupvnOlsaddnaqeeunne´ +2 X 1π = 2 n6 n=1 P 1 Remarque :.s0erdvenltra´eenoufitrnexunplemaLre´seintedontletermeg´desee´irdevireeg n 2.2The´ore`medecomparaison Th´eor`eme(Comparaison)Soit (un)n0et (un)n0usxuseti.edpositifs`atermes – Onsupposeunvnouun=o(vn) ouun=O(vn) P P Silas´erievnl,ege´saocrevneriunaussi P P Silas´erieunreegdvie´eri,lasvnaussi P P – Onsupposeunvnesri´esslerslo,aunetvnanuter.ontmˆeme Remarquettonudgoesslouitivspospartes`anuecridrnnatriah´etr`eoeremteesiarvruopsseletiuL termessontne´gatifs RemarqueLorsqueunvnuncertaapartirdemisng`esenomteˆuxdeitsuesclnodtusli,gnarni de prouver qu’une seule est positive. P ExempleermiD´etire´erlneataneduraselunou` 1 1 2 n un=e ,un= ln(cos()), un= nln(n) ln(n) 1 3 2 un=, un= 2ln(n+ 1)3 ln(n+ 1), un= arctan() 2 2 n n P Remarqueree´eeital´Dsreeraeldmarnnuitunerte`marandupctionfoneα n 1 1α un= ln(1 +) +αsin( ), un= 2n n n1 +α 2.3R`eglededAlembert The´ore`me(Re`glededAlembert)Soit (un)n0une suite telle quenN,un>0. On pose un+1 l= lim un n+P – Sil <´eriesal,1unest convergente. P – Sil >eneveltumelent,1´(l= +,)´saleireunest divergente. – Sil= 1, on ne peut rien dire. Preuvee.te´muqireireoe´gnes´n`auaisomparraocP P Exemple´eDrmtes´erieuteredalnirealanuno`u   2n ln(n) n un=, n n 2n RemarqueeCere`tircerssepxointileestuquellorsuncomporte des produits. Remarque´Ldutesnadellaumsninoonmgt´neenr´iebrnaelueqeidenslsy´eprasieaesddoecRcine troisie`mecas.
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