Soit p un nombre premier a Montrer que Z pZ est un anneau local quel est son ideal maximal b Soit k un corps et x La meme question pour k x xn ou k x est l'anneau des polynomes en une variable x

Description

Algebre 2008-2009 Feuille 2 1. Soit p un nombre premier. a) Montrer que Z/pZ est un anneau local, quel est son ideal maximal? b) Soit k un corps et x. La meme question pour k[x]/(xn), ou k[x] est l'anneau des polynomes en une variable x. 2. Soit A = k[x, y] et I = (x, y) ? A l'ideal engendre par x, y. Montrer que I est sans torsion, mais I n'est pas libre en tant que A-module. 3. Soit k un corps et E un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que f ? Endk(E) est un diviseur de zero dans Endk(E) si et seulement si f n'est pas un isomorphisme. 4. Soit I ? A un ideal dans un anneau A. Montrer que Matn(I) ? Matn(A) est un ideal bilatere et Matn(A)/Matn(I) ?˜ Matn(A/I). 5. Soit A un anneau, I1, I2 ? A des ideaux. On dit que I1 et I2 sont premiers entre eux si I1 + I2 = A. Supposons que I1 et I2 sont premiers entre eux et I1 ? I2 = 0.

• matrices zero


• ?m3 ?b


• m3 ?


• diviseur de zero dans endk


• anneau commutatif


• n1 ?


• e? ?


• structure de l'anneau c?r


• noyau de l'homomorphisme z ?

Sujets

• Anneau commutatif
• maths
• exercice
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Master1Math´ematiques,MAT414

Universit´eJosephFourier 20092010

Feuilled’exercices2:encoredesespe´rancesconditionnelles...

Exercice 1.edavirbaoCpueltoiresdilesal´ea.`rcsseteSoitλ >0,µ >0 et 0< ν≤(1. SoitX, Y) uncoupledevariablesal´eatoiresentie`respositivestellesque n m nm λ µν 2 P (X,Y) (n, m) =c λ,µ,ν pour tout (n, m)∈N, n!m! o`uc λ,µ,ν est une constante de normalisation. X n m nm λ µν 1.V´erifierque<∞(la constantec λ,µ,ν est alors l’inverse de cette somme). n!m! 2 (n,m)∈N 2. Donnerles lois marginales deXetYce´ennioitndconeurevuorT.quepournaetussffiertessia XetYo´ieepentinsdtes.ndan 3.De´terminerE[X|Y].

Exercice 2.Baisse de 100% du pouvoir d’achat au Casino.euedfoneunrteUjnuoueprso`sX n >0 ⋆ a`l’instantn, avecX 0 =x 0 mrnie´etdtnainstaque.Achisten∈Npa`euojlisemineeuacufeoiluqi’l doubles’ilgagneetperddanslecascontraire.Lejoueurd´ecided’arreˆterdejouerquandilposse`de une sommesfix´ec(avaneed’s´dteintsreime,s≥x 0 rtse´niuni(enatst)ouauqilndNpour lequel X N .)aStsar´tgeeiseen=0tuorafesuttoupcoeuqahca`resimedtX n siX n ≤s/2 et de misers−X n siX n > s/2. 1.Lejeus’arreˆtet’ilavecprobabilite´1auboutd’unnombrefinidecoups?Justifiervotrere´ponse. 2 2. Montrerque pour tout (k, n)∈N,k≥n, on aE[X k |X 1 , X 2 ,∙ ∙ ∙, X n ] =X n . 3.Ende´duirelaprobabilit´equelejoueurterminelejeuen´etantruin´e.

Exercice 3.nepecnadnoceitidneone.llInd´Deux tribusG 1 etG 2 sont dites conditionnellement inde´pendantesparrapporta`latribuGsi E[X 1 X 2 |G] =E[X 1 |G]E[X 2 |G] pourtoutevariableale´atoireX 1 (respectivementX 2 ) positiveG 1 mesurable (resp.G 2 mesurable). 1. MontrerqueG 1 etG 2 ioitelnnmeleinnttnosdnocapport´dpeneadtnseaprrGsi et seulement si E[X 2 |σ(G,G 1 )] =E[X 2 |Greatoirtou]paviruoetlae´baelX 2 positiveG 2 mesurable. 2. MontrerqueG 1 etG 2 esionnellereconditpeneadtnemtnni´d´endeitrˆentveeuteˆsnassetnadnepp parrapport`aunetroisie`metribuG. 3. Soit(X 0 , X 1 , X 2 laselbaieriotae´pe´endsis.teanndoMtnerqreutrip)unevarletdσ(X 0 +X 1 +X 2 ) etσ(X 0 dnocoitilennemelinntepd´daenesnt`artpoap)rsropnatσ(X 0 +X 1 ).

Exercice 4..i.iriseaeotas´lablevariumdeaximMd.Soit (X k ) 1≤k≤n eellestoiresr´aselae´lavsebaird ind´ependantesdemˆemeloiadmettantunedensit´eρ(xLeberede.sgueoptrrrpaemusa`alpa) 1.Calculerlaloidelavariableal´eatoireM= max{X 1 ,∙ ∙ ∙, X n }. 2.D´eterminerlaloiconditionnelledeX k sachantM.

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