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Synth`esedelactivit´escientique(versiondemars 2012)
Antoine DOUAI Universit´edeNice LaboratoireJean-AlexandreDieudonne´ Parc Valrose, F-06108 Nice Cedex 02
Th`emesetmots-clef
Singularit´esetge´ome´triealge´brique. modules.Th´eoriedeHodge.Varie´te´s hyperge´ome´triques.
Th´eoriealg´ebriquedese´quationsdie´rentielles.D-deFrobenius.Arrangementsdhyperplans,int´egrales
Monodromieete´quationsdie´rentiellesenthe´oriedessingularit´es(proble`mesdeBirkhoetdeRiemann-Hilbertpourlessyst`emesdeGauss-Manindefonctionsr´eguli`eres).Re-lationaveclatopologiedesapplicationspolynomiales.Applications`alaconstructionde vari´ete´sdeFrobeniusdanslecadredessingularite´seta`lasyme´triemiroir.Etudede de´ge´ne´rescences:constructiondevari´ete´sdeFrobeniuslogarithmiquesetvarie´t´esde Frobenius limites.
Synth`ese Mestravauxderechercheportentprincipalementcesdernie`resann´eessurlaconstruction devarie´t´esdeFrobeniusdanslecadredessingularite´setlesapplications`alasyme´trie miroir. Lesvarie´t´esdeFrobeniussontdesvari´et´esanalytiquescomplexesdontlebr´etangentest munidunemultiplicationetduneformebilin´eairenon-de´ge´n´ere´eetplate,cesdeuxobjets ve´riantdesrelationsdecompatibilite´naturelles.Cesvari´et´esont´et´ed´eniesete´tudi´ees parB.Dubrovin`apartirde1991,inspir´eentreautreparlestravauxdesphysiciens.Un desattraitsdecesvari´ete´sestquellesapparaissentdansdesdomainestre`sdi´erentsdes mathe´matiques. Unepremie`resourcedevarie´te´sdeFrobeniusestfournieparlacohomologiequantique, axiomatis´eeparKontsevitchetManinenge´om´etriealge´brique,parRuanetTianen g´eom´etriesymplectique.Parexemple,lespacedecohomologiedunevarie´te´projective supporteunetellestructure,de´nieparlamultiplicationquantique. 1