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(b)
λ
(a)
y
THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES
Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires :
SoitIun intervalle. SoientaetbdansIaveca<b.
Soitune application continue sur l'intervalleIet à valeurs dans.
Soitλun réel compris entre(a) et(b).
Il existecdans [a,b] tel que :(c)=λ.
Illustrations Cas d'une fonction monotone
a
c
b
C
Démonstration 1 à l'aide de la borne supérieure :
Lemme 1 : propriété de la borne supérieure
x
(b)
λ
(a)
y
SoitXune partie non vide et majorée de. Soitcsa borne supérieure.
Il existe une suite (xn) d'éléments deXqui converge versc.
Démonstration du lemme 1 :
Cas d'une fonction non monotone
a
Commecest la borne supérieure deX, il est le plus petit des majorants deX:
En particulier :
∀ε ∈∃ ∈ +,xX tel que :cε<xc
*1 n,xnX tel que :c <xnc n
On en déduit (théorème des gendarmes) que la suite (xn) converge versc.
Théorème des valeurs intermédiaires
Page1
c
b
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
C
x