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UniversitÉ Henri PoincarÉ, Nancy 1 lcma2 s3 standard et cpu2 2011–2012
DÉpartement de MathÉmatiques AlgÈbre-ArithmÉtique Feuille 02
Groupes finis
1.Montrer que tout groupe d’ordre 4 est isomorphe ÀZ/4Zou ÀZ/2Z× Z/2Z. 2.Montrer que tout groupe d’ordre premierpest isomorphe ÀZ/pZ. 3.SoitGun groupe d’ordren >2. Montrerqu’il n’existe aucun sous-groupe deGd’ordren1. 4.SoitGun groupe fini du groupe multiplicatifCque. MontrerG=Un, le groupe des racinesn-iÈme de l’unitÉ, oÙn=|G|. 5.SoitGun groupe multiplicatif fini d’ordren2, d’ÉlÉment neutree, tel 2 quex=epour toutxG. 1. MontrerqueGest abÉlien. 2. MontrerqueGadmet un sous-groupeHd’ordre2. En dÉduire quenest pair. 3. Montrer,par rÉcurrence, quenest une puissance de 2.
0 6.Soitf:GGun morphisme de groupes.Montrer que sixGest d’ordre finin, alorsf(x)est d’ordre fini et son ordre divisen. Applicationtous les morphismes de: trouverZ/3ZdansZ/7Z 7.SoitGun groupe fini d’ordre2n, d’ÉlÉment neutree. Onsuppose qu’il 0 0 existe deux sous-groupes distinctsH, HdeGd’ordren, tels queHH= {e}. Montrerquen= 2et dresser la table deG. 8.SoitGun groupe fini d’ordre impair.Montrer que l’applicationf:G2 Gtelle quef(x) =xest bijective. 9.DÉterminerEnd(G)etAut(G)lorsqueGest le groupe(Z,+). 10.SoientGun groupe fini,KetMdeux sous-groupes deGd’ordresket m. Montrerque si,ketmsont premiers entre eux, alorsKM={e}. 11.SoientGun groupe fini etHun sous-groupe distinguÉ deGd’ordrem. 1