COMPÉTENCES ET CULTURE EN GÉOMÉTRIE

thyaj - Vero Kemball Shaw

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Description

CM1, Primaire, CM1

dissertation
mémoire
exposé

vocabulaire géométrique pour la transmission
approches issues de manuels pédagogiques
connaissances géométriques
programmes de constructions
programme de construction
programmes de construction
fractales
figures
figure
problèmes
problème
géométries
géométrie
espace
espaces

Sujets

Vero RANDREMBASON
Site de Nîmes
COMPÉTENCES ET CULTURE EN GÉOMÉTRIE
décrire, reproduire et construire avec la découverte de fractales
Discipline concernée: Mathématiques
Classes concernées: CM1 et CM2
Établissement: Ecole primaire d'Avèze, Avèze
Tuteur de mémoire: Vincent BOISSARD
Assesseur: Janick COULOMB
Année universitaire: 2008-2009
Page 1/63Résumé:
Ce mémoire s'intéresse aux problèmes de description, de reproduction et de construction
de figures à l'école primaire. Il présente les instructions officielles et des manuels sur ces
problèmes. Il développe quatre séances de cycle 3, élaborées autour de la motivante et
enrichissante découverte des fractales.
Summary:
This dissertation focuses on figures description, reproduction and construction problems
in primary school. It presents the official instructions and handbooks dealing with these
problems. It develops four sessions given to children in the fourth and fifth years of primary
school and organized around motivating and enriching fractals discovery.
Mots-clés: Géométrie - fractales - description - construction - reproduction - figures
Page 2/63Mention et opinion motivée du jury
Page 3/63Table des matières
1 La géométrie à l'école primaire (cycle 3)...............................................................................5
1.1 Petit historique de la géométrie......................................................................................5
1.2 L'enseignement de la géométrie de 1887 à 2002............................................................6
1.3 L'enseignement de la géométrie de 2002 à 2008....7
2 Les élèves et les classes de problèmes géométriques.............................................................8
2.1 L'enfant et la géométrie..................................................................................................8
2.1.1 Les connaissances spatiales....................................................................................8
2.1.2 Les connaissances géométriques............................................................................9
2.2 Les classes de problèmes..............................................................................................10
2.2.1 Décrire un objet géométrique...............................................................................10
2.2.2 Reproduire un objet géométrique.........................................................................10
2.2.3 Construire un objet géométrique...........................................................................11
2.2.4 La validation.........................................................................................................11
3 Les classes de problèmes dans les manuels........................12
3.1 Manuel de CM1............................................................................................................12
3.2 Manuel de CM2........15
4 Les fractales.........................................................................................................................16
4.1 Quelques éléments d'histoire .......................................................................................16
4.2 Définition......................................................................................................................17
4.3 Intérêts des fractales.....................................................................................................17
4.3.1 Modélisation d'objets naturels..............................................................................17
4.3.2 En arts plastiques..................................................................................................21
4.4 Fractales utilisées lors de cette étude...........................................................................21
5 L'étude autour des fractales..................................................................................................23
5.1 Activités de description et de construction (le flocon de neige de von Koch)............24
5.1.1 Préparation............................................................................................................24
5.1.2 Analyse de la séance.............................................................................................25
5.2 Activités de description (arbre de Pythagore)..............................................................27
5.2.1 Séance préparatoire sur les programmes de construction.....................................27
5.2.2 Séance sur l'arbre de Pythagore............................................................................30
5.3 Activités de description et de reproduction (la carpette de Sierpinski)........................33
5.4 Comparaison avec les manuels.....................................................................................35
Page 4/63Introduction
Comment viser les compétences de géométrie de cycle 3 tout en faisant découvrir aux
élèves l'importance et la richesse des mathématiques au travers d'objets géométriques tels
que les fractales ?
La première utilisation du mot « fractale » est faite par Benoît Mandelbrot en 1974, pour
désigner un concept géométrique moderne, suffisamment riche pour mériter un nouveau mot.
Aujourd'hui, la géométrie fractale est à la fois [voir par exemple "Les fractales", Tangente
Hors série n°18]:
● une forme d'art ou de décoration ;
● un sujet permettant la modélisation des objets complexes existant dans la nature ;
● un concept mathématique sur lequel des recherches scientifiques sont encore menées.
Le travail présenté dans ce mémoire utilise les fractales pour l'apprentissage de plusieurs
compétences visées en cycle 3 pour la géométrie :
● en CM1 : utiliser en situation le vocabulaire géométrique, vérifier la nature d'une
figure plane simple, tracer une figure à partir d'un programme de construction, décrire
une figure en vue de l'identifier parmi d'autres ou de la faire reproduire.
● en CM2 : vérifier la nature d'une figure avec des instruments, reproduire un triangle à
l'aide d'instruments, tracer une figure à partir d'un programme de construction ou d'un
dessin à main levée.
Au delà de ces points essentiels, il tente de s'appuyer à la fois sur l'esthétique des fractales
et sur leur application à la modélisation de certains objets naturels pour susciter une curiosité
et un intérêt tout particulier des apprenants. Le but est aussi de montrer que des objets
élémentaires de la géométrie du primaire peuvent donner naissance à des objets complexes
(au moins d'apparence) et fascinants.
Les travaux pédagogiques présentés dans ce mémoire ont été appliqués à une classe à
double niveau CM1-CM2 de 28 élèves à Avèze (Gard).
Ce mémoire est structuré en 3 chapitres. Le premier chapitre énonce et étudie les
principales compétences du programme officiel et visées par ce travail. Dans un deuxième
chapitre différentes approches issues de manuels pédagogiques seront présentées, elles me
permettront par la suite d'avoir un regard critique quant à l'analyse de mes pratiques. Le
troisième chapitre est une présentation du concept de fractales et de son impact en géométrie,
en sciences ainsi qu'en arts plastiques. Il donne plusieurs références qui permettront au lecteur
d'aller plus loin dans leur découverte. Enfin, dans le dernier chapitre, des séances
Page 5/63pédagogiques basées sur le flocon de neige et l'arbre de Pythagore sont exposées et analysées.
1 La géométrie à l'école primaire (cycle 3)
1.1 Petit historique de la géométrie
Le terme géométrie vient de la langue grecque: -géo- provient du mot gaia qui signifie
« terre » et -métr- du mot metron qui signifie « mesure ».
Les plans d'irrigation et les pyramides témoignent d'une connaissance des Egyptiens sur les
figures planes et sur les solides.
Les premiers travaux connus de géométrie remontent à la Grèce antique. On considère
généralement que le mathématicien grec Euclide, vers 300 avant J.C., dans son traité « Les
éléments », a jeté l'une des bases actuelles de notre géométrie appelée géométrie euclidienne.
2000 ans plus tard, la physique s'appuie encore sur ses travaux pour effectuer des calculs
théoriques en mécanique.
Aujourd'hui, la géométrie est d