Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC On dit qu'une suite réelle est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe et tels que : , . (L'entier est une période de la suite ). On note l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - I.A - Montrer que est un sous espace vectoriel de l'espace des suites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B - Soit un élément de et l'ensemble des entiers tels que la suite admette pour période à partir d'un certain rang. I.B.1) Montrer qu'il existe un entier (que l'on appellera la période de ) tel que : . Que peut-on dire de la suite lorsque ? I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier tel que : , Montrer que, pour tout , est le plus petit entier à partir duquel la suite devient -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement ? I.C - Soit un élément de . I.C.

• n? in?


• a2n


• polynôme


• entier


• rayon de convergence de la série entière


• n0 in?

Sujets

• Polynôme
• Entier relatif

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Extrait

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

On dit qu’une suite réelle a=(a)  estultimement périodique n n∈IN lorsqu’elle est périodique à partir d’un certain rang, c’est-à-dire s’il existe ∗ n∈IN et p∈IN tels que : 0 ( R )∀n∈IN , n≥n a +p n . ⇒=a 0n (L’entier p est une période de la suite (a) ). n n≥n 0 On note UP l’ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - IN I.A -Montrer que UP un sous espace vectoriel de l’espace est IR  dessuites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B -Soit a=(a) un élément de UP et P (a) l’ensemble des entiers p≥1 n n∈IN tels que la suite a admette p pour période à partir d’un certain rang. I.B.1) Montrerqu’il existe un entier T≥1 (que l’on appellera la période de a ) tel que : P (a)=INT={kT,k∈IN} . ∗ ∗ Que peut-on dire de la suite lorsque T= 1 ? I.B.2) Montrerqu’il existe un plus petit entier n tel que : 0 ∀n∈IN , n≥n⇒a=a 0n+T n Montrer que, pour tout p P a , 0 est le plus petit entier à partir duquel la ∈( )n suite (a) devient p -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à n n∈IN définir parfaitement a ? I.C -Soit a=(a) un élément de UP . n n∈IN I.C.1) Montrerque a est bornée et que le rayon de convergence R de la série a n entière a x strictement positif. À quelle condition nécessaire et suffi- est ∑ n sante R est-il égal à +∞ ? Que vaut-il sinon ? a I.C.2) Montrerque la somme de cette série est une fraction rationnelle. Dans quel cas est-ce un polynôme ?

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Filière PC

Filière PC

n I.D -Soit a x  unesérie entière de rayon de convergence R>0 , dont la ∑ n somme est la restriction à ]–R,R[ d’une fraction rationnelle. La suite (a) est-elle ultimement périodique ? n n∈IN Partie II - II.A - Exemple 1 On définit la suite (F) par : n n∈IN F= 0 , F= 1 et ∀n∈IN , F=F+F 0 1n+ 2n+ 1n et la suite (a)  par a= 0  si F  estpair et a= 1  sinon.La suite n nn n n∈IN (a) est-elle ultimement périodique ? n n∈IN n Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière a x . ∑ n II.B - Exemple 2 On définit maintenant la suite (a) par : n n∈IN a= 1 et ∀n∈IN , a=a et a= –a . 0 2n n2n+ 1n n II.B.1) Déterminerle rayon de convergence de la série entière a x . ∑ n On note S sa somme. 2 II.B.2) Trouverune relation liant S(x) et S(x) . En déduire que, pour tout x , x∈]–1,1[ , n k (2) S(x)= lim(1 –x) . ∏ n→+∞ II.B.3) Étudier,pour n donné dans IN ,   S(x) lim  -  n – x→1  ( 1 –x )  et en déduire que (a) n’est pas ultimement périodique. n n∈IN II.C - Exemple 3 Soit x=a∕b  unrationnel strictement positif, donné sous forme irréductible. On définit deux suites d’entiers (r) et (d) par : n n n∈INn∈IN

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MATHÉMATIQUES IFilière PC • d=E(x) (partie entière) et r est le reste de la division euclidienne de a 0 0 par b . • pourtout n≥1 , r  (resp. d ) est le reste (resp. le quotient) de la division n n euclidienne de 10⋅r par b . n– 1 II.C.1) Danscette question (uniquement), x= 22∕7 . Déterminer d,d, …,d . 0 110 II.C.2) Montrerque la suite (r) est ultimement périodique. Qu’en est-il n n∈IN de (d) ? n n∈IN ∗ II.C.3) Montrerque, pour tout n∈IN , 0≤d≤9 . n II.C.4) Établirl’égalité : +∞ –n x=E(x)+d10 ∑ n

Partie III - Le but de cette partie est de montrer que le réel π n’est pas un élément de m . ∞ ∞ E=C(IR,IR) est l’espace des fonctions de classe C de IR dans lui-même. Pour tout élément f de E , on note F l’application de IR dans IR définie par : x ∀x∈IR , F(x)=t f(t)dt . ∫ 0 III.A -L’application de E qui à tout élément f associe F est notée L . Vérifier que L est une application linéaire de E dans E . III.B -On considère dans cette question un élément f de E supposé borné sur IR et on note M=f= supf(x) . ∞,IRx∈IR III.B.1) Montrerque, pour tout x de IR , 2 x F(x)≤M - 2 III.B.2) Ondéfinit une suite d’éléments de E par f=f et, pour tout n de IN , 0 f=L(f) . n+ 1n ∗ Montrer que, pour tout n de IN et tout x de IR , 2n x f(x)≤ - M . n 2.4…2n III.B.3) Soit I un segment quelconque de IR . Montrer que pour tout n , f est n bornée sur I et lim(supf(x) )= 0 . n x∈I n→+∞

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MATHÉMATIQUES IFilière PC III.C -On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes f= sin , et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente. III.C.1) Déterminerles fonctions f et f . 1 2 ∗ III.C.2) Montrerque, pour tout n de IN et tout x de IR , 2 f(x)=(2n+ 1)f(x)–x f(x) . n+ 1n n– 1 III.D -Pour p∈IN , on note F sous-espace vectoriel de le E  formédes fonc- p tions polynômes de degré au plus p . III.D.1) Ondéfinit : H : F×F→F×F p pp p (P,Q)a(P′–Q,P+Q′) Vérifier que H est un automorphisme de F×F . p p III.D.2) Ondésigne par S l’ensemble des fonctions paires de F , par A celui p des fonctions impaires. Montrer que H(S×A)=A×S . III.D.3) Onconsidère la suite de fonctions (f)  définiedans la question n n∈IN III.C. Montrer que pour tout n de IN , il existe un couple unique de fonctions P n et Q de F , P paire et Q impaire, telles que : n nn n ∀x∈IR , f(x)=P(x)sinx+Q(x)cosx . n nn Déterminer P et Q pour n= 0,1,2 . n n ∗ III.D.4) Montrerque, pour tout n∈IN et tout x∈IR , 2 P(x)=(2n+ 1)P(x)–x P(x) . n+ 1n n– 1 En déduire que les fonctions P sont des polynômes à coefficients entiers. n III.E -On suppose ici que le réel π est élément de m , ensemble des nombres rationnels. ∗ Soit donc p élément de ZZ et q élément de IN tels que π=p∕q . III.E.1) Montrerque la suite n π   (2q)P(-) n  2  n∈IN est une suite d’entiers. Quelle est sa limite ? III.E.2) Endéduire que π n’est pas rationnel.

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MATHÉMATIQUES IFilière PC Partie IV - Soit (a) la suite définie par, pour tout n de IN , a= 1 si sinn>0 , a= 0 n nn n∈IN sinon. Le but de cette partie est d’étudier si cette suite à valeurs entières est élément de UP . IV.A -On suppose que cette suite est ultimement périodique. IV.A.1) Montrerqu’il existe un entier N et un entier strictement positif T tels que, pour tout entier k supérieur ou égal à N , le signe de sin(kT) soit constant. IV.A.2) Endéduire que la suite (cos(kT))  estcomposée de réels stricte- k∈IN ment positifs à partir d’un certain rang. 2 IV.B -Soit G=ZZT+ 2πZZ={nT+ 2kπ,(n,k)∈}ZZ . IV.B.1) Montrerque G est un sous-groupe additif de IR . Existe-t-il a∈IR tel que G=aZZ ? + + * IV.B.2) Onpose G=G∩IR (ensemble des éléments strictement positifs de + G ). Montrer que G possède une borne inférieure a . + IV.B.3) Onsuppose a∈G . Montrer que G=aZZ . + IV.B.4) a donc pas élément de n’est G . Supposant a>0 , montrer que l’on + peut trouver deux éléments g et g′ de G tels que a<g′ <g<2a . En déduire a= 0 . IV.C - –n IV.C.1) Montrerque, pour tout n∈IN , il existe g∈G tel que 0<g<10 . n n IV.C.2) Soit x un réel. Construire une suite d’éléments de G convergeant vers x . IV.D - IV.D.1) Montrerl’existence d’une suite d’entiers positifs (k) telle que la n n∈IN suite (cos(k T)) converge vers -(1∕2) . n n∈IN Montrer que l’ensemble {cos(k T),n∈IN} des termes de cette suite n’est pas de n cardinal fini. IV.D.2) Construirealors une suite strictement croissante (y) extraite de n n∈IN (k) telle que la limite de (cos(y T)) soit -(1∕2) . n n n∈INn∈IN IV.D.3) Lasuite (a) est-elle ultimement périodique ?‘ n n∈IN

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