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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière MP Dans tout le texte, désigne un intervalle de contenant au moins deux points et est un entier strictement positif. On note l'ensemble des matrices à coefficients réels et on désigne par l'ensemble des applications de classe de dans . Si , désigne la dérivée de . Parmi les éléments de , on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent : : , : , On adopte les notations suivantes : désigne la matrice identité d'ordre , l'espace vectoriel des vecteurs-colonnes à lignes, le groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et le sous-groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et de déterminant ; si , on désigne par le coefficient de en position lorsque et . Enfin, on dit d'une matrice triangulaire de qu'elle est stricte si elle a les coef- ficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de qu'elle est scalaire si elle est proportionnelle à l'identité ( , avec ). Enfin, on rappelle que, si est élément de , l'application de dans définie par est un élément de dont la dérivée est . Partie I - Exemples élémentaires I.A - . I.A.1) Montrer que tout élément de vérifiant vérifie . I IR n Mn IR( ) n n? En I( ) C1 I Mn IR( ) M En I( )? M? M En I( ) P1( ) x y,( )

• unique couple d'applications continues


• équation différentielle matricielle


• pm q0 …


• unique solution maximale de l'équation différentielle matricielle

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Extrait

MATHÉMATIQUES IIFilière MP MATHƒMATIQUES II

Dans tout le texte, I désigne un intervalle de IR contenant au moins deux points et n est un entier strictement positif.On note M n (IR) l’ensemble des matrices n×n à coefficients réels et on désigne par E(I) l’ensemble des applications de n 1 classe C de I dans M n I . Si M E n . Parmi, désignela dérivée de (R)∈ (I)M′M les éléments de E(I) , on s’intéresse en particulier à ceux qui vérifient l’une ou n l’autre des propriétés qui suivent : 2 (P1) : , ∀(x,y) ∈I M(x)M(y)=M(y)M(x) (P2) : , ∀x∈I M′(x)M(x)=M(x)M′(x) On adopte les notations suivantes: I ,désigne la matrice identité d’ordre n n n IR  l’espacevectoriel des vecteurs-colonnes à n lignes, O(IR) le groupe des n matrices orthogonales réelles d’ordre n et SO(IR) le sous-groupe des matrices n orthogonales réelles d’ordre n et de déterminant +1 ; si M∈ M n (IR) , on désigne par M le coefficient de M en position (i,j) lorsque 1≤i≤n et 1≤j≤n . Enfin, [i,j] on dit d’une matrice triangulaire de M n (IR) qu’elle eststrictesi elle a les coef- ficients diagonaux tous nuls et d’une matrice de M n (IR) qu’elle estscalairesi elle est proportionnelle à l’identité ( M=λI , avec λ ∈IR ). n Enfin, on rappelle que, si M est élément de M n (IR , ) l’application de IR dans M n (IR) définie par +∞ k t k taexp(tM)= - M ∑ k! k= 0 est un élément de E(IR) dont la dérivée est n taMexp(tM)= exp(tM)M .

I.A -. I.A.1)

Partie I - Exemples élémentaires

Montrer que tout élément de E(I) vérifiant (P1) vérifie (P2) . n

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MATHÉMATIQUES II FiliËre MP

Filière MP

I.A.2) Démontrerque si M est une application élément de E(I) , alors pour n *k k tout k∈IN , l’application M:xaM(x) est élément de E(I) ; calculer sa déri- n vée. I.A.3) Démontrerque si M est une application élément de E(I , ) telle que n pour tout x∈ la I matrice est M i ( n x v ) ersible, alors l’application –1 –1 M:xaM(x) est élément de E(I) ; calculer sa dérivée. n I.B -Dans la suite de la Partie I, on prend n= 2 . Un élément M de E(I) s’écrit pour x∈I : 2   a(x)b(x) M(x)=   . c(x)d(x)  I.B.1) Onsuppose dans cette question que M vérifie (P2) et que la fonction b ne s’annule pas. Que dire des fonctions c d–a - et - ? b b M 2 Montrer, en l’explicitant, qu’il existe une matrice A∈(IR t ) elle que, pour tout x∈I , M(x) ∈Vect{I,A} . Montrer que l’application M vérifie aussi (P1) . 2 M 2 I.B.2) Soit A une matrice non scalaire dans (IR . ) Montrer qu’il existe 2 2 X∈IR  telque (X,AX) soit une base de I . R aOn suppose X insi choisi. Si 2 M 2 B∈(IR) , il existe donc (u,v) ∈IR tel que BX=uX+vAX . Montrer que, si la matrice B commute avec A s’écrit, elle B=u I+vA . 2 I.B.3) Onsuppose dans cette question que M vérifie (P2) et que M(x) n’est scalaire pour aucun x de I . Montrer qu’il existe un unique couple (u,v) d’applications continues de I dans IR tel que M′(x)=u(x)I+v(x)M(x) pour tout x∈I . Pour x∈I donné, on pose 2 0 alors C(x)=M(x)M(x)–M(x)M(x) pour tout x∈I . Montrer que C vérifie une 0 0 équation différentielle matricielle très simple, dans laquelle intervient la fonc- tion v résoudre en la ramenant par exemple à des équations différentielleset la ordinaires. En conclure que M vérifie (P1) .

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MATHÉMATIQUES IIFilière MP I.B.4) Danscette question, on s’intéresse à E(IR) . 2 a) Montrerque (P2) est vérifiée lorsqu’on choisit pour a,b,c et d les fonctions 2 2 2 qui à x réel associent respectivement 1 +x , x x , x et 1 –x . b) Déterminersoigneusement les éléments de E(IR) de la forme 2  2   1 +x b(x)  xa vérifiant (P2) .   2  c(x)1 –x  Pour chaque élément de E(IR) ainsi trouvé, 2 - dires’il vérifie (P1) , - déterminerla dimension du sous-espace vectoriel de M n (IR) engendré par l’ensemble des M(x) , noté Vect{M(x),x∈IR} . I.C -Soit M un élément de E(I) tel que pour tout x∈I , M(x) est la matrice 2 d’une réflexion. 1 I.C.1) Montrerqu’il existe une application θ de classe C de I dans IR telle que la première colonne de M(x) soit   cosθ(x)   pour tout x∈I .  sinθ(x )  I.C.2) Àquelle condition, portant sur la fonction θ , M vérifie-t-elle (P2) ?

On dit d’une application de I× M n (IR) dans M n (IR) qu’elle estde type ( Q ) (abréviation pourquasi-polynomial) si elle est de la forme m k (x,M)aa(x)P(x)MQ(x) ∑ k k k k= 0 où sont donnés  m∈IN  0  a,…,ade classeCdeIdansIR 0m   0 0m0m M  P,…,P,Q,…,Qde classeCdeIdans(IR) n  On dira qu’une telle application estpolynomialesi, de plus, les applications P k et Q sont toutes constantes, égales à I . k n

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MATHÉMATIQUES IIFilière MP T On admettra alors le théorèmesuivant, qui est une version du théorème de Cauchy-Lipschitz :  M n M n Q 0 0 M n a) Si F : I×(IR) →(IR) est de type ( , e ) t si (x,U) ∈I×( , I i R l ) existe une unique solution maximale U de l’équation différentielle matricielle 0 M′(x)=F(x,M(x)) , définie sur un intervalle J  tel que x∈J⊂I vérifiant de plus . U(x)=U 0 0 M n b) Si,en outre, E est un sous-espace vectoriel de (IR) , si F(I×E) ⊂E et si U∈E , alors U(x) ∈E pour tout x∈J . 0 L’attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions matricielles solutions d’éventuelles équa- tions différentielles sont définies surItoutentier et que, partant, le point de vue de la maximalité de ces solutions est accessoire.

Partie II - Étude de cas particuliers II.A -Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme ( E ) : m 2k+ 1 M′(x)=a(x)M(x) . ∑ k k= 0 Déduire du théorème T le résultat ( R ) suivant : si une solution U sur I de ( E ) est telle que, pour une valeur x∈I , U(x 0 ) est une matrice antisymétrique, 0 alors U(x) est antisymétrique pour tout x∈I . Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d’équation différentielle matricielle, mais de type ( Q ) , pour laquelle le résultat ( R ) soit conservé. II.B -Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme m k M′(x)=a(x)M(x) . ∑ k k= 0 Soit M une solution sur I et x∈I tel que le polynôme caractéristique de M(x) 0 0 n0 M soit scindé. On choisit alors P∈G L(IR) et T∈(IR) triangulaire supérieure n –1 telles que M(x)=PT P . 0 0 II.B.1) Formerune équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par –1 T:xaP M(x)P permettant de montrer que T(x) est triangulaire supérieure pour tout x∈I . II.B.2) Onsuppose en outre que T est triangulaire stricte. En considérant les 0 fonctions à valeurs réelles xaT(x) avec 1≤i , ≤ d n onner une condition [i,i] nécessaire et suffisante sur la fonction a pour que T(x) soit triangulaire stricte 0 pour tout x∈I .

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MATHÉMATIQUES IIFilière MP * II.B.3) Cettecondition étant supposée remplie, on choisit r∈I t N el que r 0 Q T= 0 ; former uneéquation différentielle matricielle de type ( ) vérifiée par r r x∈IaT(x) permettant de montrer que l’application T est nulle. II.C - II.C.1) Soit U solution sur I de l’équation différentielle matricielle m k M′(x)=a(x)P(x)M(x)Q(x) . ∑ k kk k= 0 On suppose qu’il existe x∈I tel que U(x) commute avec toutes les matrices 0 0 P(x) et Q(x) pour tout x∈I . Montrer que U(x) commute avec U(x) pour tout k k0 x∈I . II.C.2) Soit U une solution sur I d’uneéquation différentielle matricielle poly- nomiale. Vérifie-t-elle ( , P1 v ) érifie-t-elle ?Montr ( e P r 2 q ) ue dim(Vect{U(x),x∈I})  est inférieure ou égale à n . M n II.D -Soit u E tel quen sous-espace vectoriel de (IR) 2 (M,N) ∈E⇒MN–N M∈E . En introduisant une équation différentielle matri- 2 cielle bien choisie, montrer que ∀(t,M,N) ∈I×E , exp(tM)Nexp(–tM) ∈E . Partie III - Cas des matrices orthogonales E III.A -On s’intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme (′) : 2 0 M′(x)=a(x)(I–M(x)) , où a désigne une fonction donnée, de classe C de I n dans . IR 2 E 0n III.A.1) Si U est une solution sur I de ( ′) telle que (U(x))=I (matrice d’une symétrie) pour un certain x∈I , que peut-on dire de la fonction U ? 0 M n E III.A.2) Soit J∈(IR) . On suppose qu’une solution U de ( ′) sur I vérifie t t U(x)JU(x)=J un pour x∈I . On pose alors N(x)=U(x)JU(x) pour tout 0 00 Q x∈I . Former une équation différentielle matricielle de type () vérifiée par N–J et en conclure que N(x)=J pour tout x∈I . Si, en outre, J est inversible, montrer que l’application xadet(U(x)) est constante. III.B -Dans toute cette section III.B, on choisit n= 3 . Soit U une matrice élé- ment de E(I) à valeurs dans SO(IR) vérifiant (P2) et telle que, 3 3 U(x) ≠I  3 ∀x∈I , .   –1 n’est pas valeur propre de U(x)

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MATHÉMATIQUES IIFilière MP III.B.1) a) Pour x∈I fixé, on pose U 0 U 0 . Montrer qu’il existe un vecteur 0 uni- =(x)Z 0 3 taire dans IR euclidien canonique, tel que U Z=Z . 0 00 b) Onchoisit alors X et Y tels que B=(X,Y,Z) soit une base orthonormale 0 00 0 0 3 2 directe de IR , on pose X=Y+Z et C=(X,U X,U X) . 0 00 0 3 De quelle forme est la matrice dans B de l’endomorphisme de IR ayan U t pour 0 matrice dans la base canonique ? Calculer alors det(C) en fonction des coeffi- B 3 cients de cette matrice et en déduire que C est une base de IR . c) Enconclure qu’il existe trois fonctions, u , v d w e da I ns te I ll R es que 2 U′(x)=u(x)I+v(x)U(x)+w(x)U(x) pour tout x∈I . On admettra que ces trois 3 fonctions sont continues. t t d) Enexprimant la dérivée de U U en fonction de u , v , w , U+U , montrer que U est solution d’une équation différentielle matricielle, notée, de la forme E ( ′) : on exprimera, à l’aide de certaines des fonctions, u  , v  , w la fonction a correspondante. F III.B.2) Transformerl’équation () par le changement de matrice inconnue défini par la formule : (I+U(x))A(x)=I–U(x) , en justifiant l’introduction de 3 3 A(x) . Montrer que A est solution sur I d’une équation différentielle matricielle poly- nomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de U(x) pour tout x∈I . III.C -En s’inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément de E(IR) à 3 valeurs dans SO(IR) vérifiant (P2) mais pas (P1) . 3 III.D -Chercher la solution maximale U dans M 2 (IR) de l’équation différen- 2 tielle matricielle M′(x)=I+M(x) , définie au voisinage de 0 et telle que 2   0 1 U(0)=   .  1 0  Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme   a(x)b(x) x∈IaU(x)=   b(x)a(x)  2 2 et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par u=b , –a sachant que u(0)= 1 .

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