Introduction Periode groupes cycliques

Jerome Germoni

Description

Niveau: Elementaire
Introduction Periode (groupes cycliques) Demi-periodes (reciprocite quadratique) Longueur de la periode (conjecture d'Artin) Developpement decimal de 1/p (d'apres O. Mathieu) Besanc¸on, 2 juin 2006 Jerome Germoni (universite Lyon 1) Besanc¸on, 2 juin 2006 Developpement decimal de 1/p (d'apres O. Mathieu)

• periode arithmetique modulo


• contrat didactique


• conjecture d'artin justification heuristique


• introduction periode


• artin

Sujets

• Mathématiques
• Contrat didactique

Informations

• Publié par: profil-fool-2012
• Publié le: 01 juin 2006
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Introduction P´eirdo(erguoepcscyquli) D es i-emerp´edoi´r(spiceicoruadrt´eque) L atiq uedrnouge´irlepanjcoe(odd’retuec)nitrA n¸coBesaeve´D6002niuj2,nmaci´etdenempplotaM.ueih

Besa ¸ n, 2 juin 2006 nco

D´eveloppementd´ecimalde1/p (d’apre`sO.Mathieu)

)

J´erˆomeGermoni(universit´eLyon1)

e1ld(d/ppr’asO`e

Itnorud cycsepuo D )seuqil´e n P ioct gre(odri oriccepiaurd´tqep´eremi-s(r´iode e(odnjcoapelri´eugnodrue qita L )eu rAit)nceuter’d amdl1ep/d(a’rpe`veloppementd´eci,nociuj2002ne´D6Ben¸sa

4

3

1

2

Introduction Devinettes Quelques miracles admirables P´eriode(groupescycliques) Existenced’unep´eriode Arithme´tiquemodulop Digression : le (p−e`-)1rffihceme Demi-p´eriodes(re´ciprocite´quadratique) Dichotomie Le (p+ 1)/ffiereem`h-c2 Digression : couper les cheveux en trois ou quatre Longueurdelape´riode(conjectured’Artin) Digression:nombredepe´riodesdesk/pet longueur minimale Conjecture d’Artin Justificationheuristiqueetr´esultatspartiels

)ueihtaM.Os

´equocitcipr(r´e gneu )e oL ituqdaar (cdeioerp´ladeurnitrA’derutcejno Intr ´Preoied docuitno clcyueiqro(gesup ire´sedoeD )s p-im D ) veniteet Q s euqluesmiraclesadmirelbas imecdealmeped´ntse`raM.O(p/1pa’dan¸con,2Bes´Dvelepoujni0260 ´ )u

Introduction Devinettes Quelques miracles admirables ´ Periode (groupes cycliques) Existenced’unep´eriode Arithme´tiquemodulop Digression : le (p−ffier-)e`emhc1 Demi-pe´riodes(re´ciprocite´quadratique) Dichotomie Le (p+ 1)/ceeriffh`-me2 Digression : couper les cheveux en trois ou quatre Longueurdelap´eriode(conjectured’Artin) Digression:nombredep´eriodesdesk/pet longueur minimale Conjecture d’Artin

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4

Plan 1 2

3

iln’apas142+857,accllue´Jiluaian rantidtd,pnccoar unet oD .etiafered . Bes cunet:auseespenoal´ruq,ecait d´ntmepeopelevD´6002niuj2,noc¸na ´renU S 4 esnope imecdealp(1/apd’se`raM.Oeiht

Devinettes 1 ulerCalciffchdere1ˆtedlete-35eeme`/53. 2 2-`emechiffrede1cllureedˆttele5eCa/53. 3 tele2e-7e`emhcffiCalculerdetˆdere1/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectu´ees?

)u A’trni D )ejtcrudeiode(condelap´ergnoLrueu itar)euq´eitadquci´eocprser(irdop-e´eDim ues)cliqescyroupg(edoire´P noitcuodtrIn veni el D s steet leacirsmabirdmsa ettenive euqleuQ s

(sedce´r´p-ioireuaeqatdrroipt´ci uguedrle qieu L ) noe(conjecap´eriod iveD )nitrA’derut miesquelQu esttne lbseimarsedaarlc esnettDevi Itcudortn ´eri ion Pgrouode(cyilepcs D ) me uqse Dc,onucunst:a san¸ e. Bej2iuoc,nD6e´2n00 tronrcpactdadiatral,euqieesnope´ sO.Mathieu)

Devinettes 1 e1edffrel35eˆetceih`-meCalrdetcule/53. 2 ˆtedrel`-25eletcualCemechiffrede1/53. e 3 1e27leem-`hiecedffrClauceldrteeˆet/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectue´es?

Unere´ponse 4 .ueertdenetapa’iafs758+nli,cul´e142lianacaliSuJ

loveempptdenci´edlamp/1ea’d(e`rp

steetveni les D irabsadmacle c(noejtc´preoiedueurdela que) Long euqlrims ette euQ s ) D in inev edurrt’A eihtaM.O

Uner´eponse 4 itfaasapn’il7,85.euneteredSiJullue´41+2aianaccl Donc,parcontratdidactique,lare´ponseest:aucune.

Devinettes 1 ered1ffihceme`-35eletetˆdeerullcCa/53. 2 erdetˆetele52-`eaCclluhcemerffi1ed/53. 3 1e`em2e-7eredhcffilcCaerultˆdeelet/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectue´es?

)useBc¸na,2oninju0620evD´lepoepemtn´dcemialde1/p(d’apr`es uctitrodIn ser(e´icp-e´irdoquadratiprocit´e g(edpuor´P no oires)ue miDe cyesiqcl

asPdede-mmiures trIn esbl ontiucod lcarimsearimdase nettDevi elqu es Qu uterjnceit)n’drAdoiroc(eledre´paon ) Leugu atdrueiqic´tqeau´rcepioreriodes( ) Demi-p´ seuqilcycsepuorge(odri´e n P ioctdutnorI p/d(dl1ee`Osa’rphieu.Mat)

1 =  0, 142 857 142142 857 857. . . 7 D´eveloppementcyclique.

2niuj2,neve´D600enempplomaci´etd ∙, 6 7 =0,8714285∙∙ eBas¸noc 7541∙2∙∙ ∙,∙∙ =0 4 7 420,7185 5 ,∙∙,0= 7 175,∙824 ∙, 2 7 57∙∙1428 7 =0, 3 ,= 7 ∙4∙∙58170=2, Si 9.997=852+14 e: 1 !enruotno,ecnel

∙∙∙ Besan¸con,2ju ∙5∙∙ 6 ,= 7 ,0581724∙∙28 5 7 ∙,,7=02814 ∙175 4 ,∙∙ ,0= 7 4175

7 1 =0, 142 857 142 857142 857. . . De´veloppementcyclique. Pas de demi-mesure :

142 + 857 = 999.

ieu)pa`r(p’daMhtse.Oecd´ntme1/dealim´D6002nieppoleve )euq gnoLrueualederp´deioon(cctje p-e´irdoser(e´icprocit´equadratimdaselca I selbari ctdurontnio A’trrude veni ni D ) s Que ette smirlque 280, 7 =, 2 ∙∙7∙8542824,0= 7 3 ,∙∙∙4175 enceSil 0=1, !e 7 1 uonro,tn no ´Preoiedg(orpuescycliques) Demi Inodtrtiuc

iluqse D )uoepcscyriode(gr ction P´e tnIudor ocjndo(ee´irlepaeurdongu ue) L atiqrdauqe´ticorpicer´s(deioerp´i-em tdenemppldmaci´e002niuj2oleve´D6eu)athi

1 0,142857∙ ∙ ∙,0 2 ,285714∙ ∙ ∙,0= 7 3 ,428571∙ ∙ ∙, = = 7 7 4 = 0,571428∙ ∙ ∙, 5 = 7 0,714285∙ ∙ ∙,=0 6 7 ,857142∙ ∙ ∙ 7

Silence, on tourne !

1 =  0, 857 142 857 142142 857. . . 7 D´eveloppementcyclique. Pas de demi-mesure :

142 + 857 = 999.

d(a’1ep/OsM.rpe` er’dceut)n eD rAit ttesvine quesQuelselcarimlbarimda odtrIn es ontiuc ¸nas,noceB