Liste des sujets de la session

Marcel

Description

Niveau: Elementaire
5.4 Liste des sujets de la session 2008 Leçons d'algèbre et géométrie a a a 101 Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples. 102 Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications. 103 Congruences dans Z , anneau Z/nZ . Applications. 104 Nombres premiers. 105 PGCD, PPCM dans Z , théorème de Bézout. Applications. 106 PGCD dans K[X] , où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications. 107 Écriture décimale d'un nombre réel ; cas des nombres rationnels. 108 Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang. 109 Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. Exemples. 110 Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Applications. 111 Changements de bases en algèbre linéaire. Applications. 112 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications. 113 Déterminants. Applications. 116 Homothéties-translations. Applications. 118 Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3. 120 Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Applications. 122 Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien de dimension finie. Applications géométriques. 123 Nombres complexes et géométrie. 125 Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications. 126 Isométries de l'espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites.

• dimension finie


• rang en algèbre linéaire


• dimension


• applications de l'analyse au calcul des grandeurs


• exercices


• anneaux z


• similitude plane directe

Sujets

• Analyse
• Algèbre
• Dimensión

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Extrait

Utilisation de groupes en géométrie.

126

145

Isométries de l’espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites.

118

Nombres premiers.

Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimen sion 2, de dimension 3.

Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’un e matrice. Applications.

Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Application s.

Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidi en (dimension finie). Applications.

Utilisation de transformations en géométrie.

139Cinématique du point : vitesse, accélération. Exemples de mo uvements. On pourra se limiter aux mouvements plans.

73

Projections et symétries dans un espace affine de dimension fin ie.

Leçons d’algèbre et géométrie ❁ ❁ ❁

Barycentres. Applications.

Droites et plans dans l’espace.

Cercles et droites dans le plan affine euclidien.

Coniques.

Nombres complexes et géométrie.

Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applica tions.

101

104

108

107

106

105

5.4

PGCD dansK[X], oùKest un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications.

102

103

Écriture décimale d’un nombre réel ; cas des nombres rationn els.

Congruences dansZ, anneauZ/nZ. Applications.

109espaces vectoriels de dimension finie.Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des Exemples.

Rang en algèbre linéaire.

Division euclidienne.

Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexe s.

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.

Liste des sujets de la session 2008

113

Déterminants. Applications.

111

Changements de bases en algèbre linéaire. Applications.

110

112

Homothétiestranslations. Applications.

116

125

122space vectoriel euclidien de dimensionRéduction et classification des formes quadratiques sur un e finie. Applications géométriques.

123

120

Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applic ations.

Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille géné ratrice finie. Rang.

PGCD, PPCM dansZ, théorème de Bézout. Applications.

140

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Géométrie du triangle.

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Courbes planes paramétrées.

Angles.

Équations et géométrie.

Factorisation de matrices.

Réduction d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dime nsion finie. Applications.

Trigonométrie.

Systèmes linéaires.

Valeurs propres.

Arithmétique dansZ.

Actions de groupes. Exemples et applications

74

Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la som me. Exemples.

Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples.

209

210

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215

212

225ntsSystèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficie Exemples.

228Fonctions différentiables définies sur un ouvert convexe de Applications.

Séries à termes réels positifs. Applications.

230

Variables aléatoires possédant une densité. Exemples.

232

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de var iables aléatoires. Exemples.

202

218

220

217

219

Comparaison d’une série et d’une intégrale. Applications.

204

207

Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Méthodes de calcul approché d’une intégrale. Majoration de l’erreur.

Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nom breπ.

Série de Fourier d’une fonction périodique ; propriétés. Ex emples.

Étude de suites numériques définies par différents types de ré currence. Applications.

223és, exemples et applications.Intégrales de fonctions dépendant d’un paramètre. Propriét ′′ ′ 224Équations différentielles linéaires d’ordre deux :x+a(t)x+b(t)x=c(t), oùa,b,csont des fonctions continues sur un intervalle deR, à valeurs réelles ou complexes.

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applic ations.

constants ; écriture matricielle.

208

Théorème du point fixe. Applications.

216

201

Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuell es, équivalence des normes.

205Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sou sespace de dimension finie. Application à l’approximation des fonctions. n 206Parties compactes deR. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples.

231

Intégrale d’une fonction numérique continue sur un interval le compact. Propriétés.

222

Espérance, variance ; loi faible des grands nombres.

227fférentiabilité. Fonctions de classeFonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, di Fonctions composées.

1 C.

221Intégrale impropre d’une fonction continue sur un intervall e deR(l’intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples.

Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications.

75

Leçons d’analyse et probabilités ❁ ❁ ❁

203miconvergence (les résultats relatifsSéries à termes réels ou complexes : convergence absolue, se aux séries à termes réels positifs étant supposés connus).

Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une varia ble réelle. Applications.

Fonction réciproque d’une fonction définie sur un intervall e. Continuité, dérivabilité. Exemples.

229Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de B ernoulli. Variable aléatoire de loi binomiale. Approximations de cette loi.

n R. Inégalité des accroissements finis.

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248

249

Approximation d’un nombre réel. Théorie et méthodes.

Équations différentielles.

Exponentielles et logarithmes.

Continuité, dérivabilité pour les fonctions d’une variable réelle.

Intégrales et primitives.

Le nombreπ.

Problèmes d’extremums pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles.

Diverses notions de convergence (on pourra se placer dans de s contextes variés). Exemples.

Suites de nombres réels.

Fonctions numériques de deux variables réelles ; courbes de niveau, gradient.

Égalités et inégalités (on pourra s’intéresser aux inégali tés de CauchySchwarz, de Parseval. . .).

Équations fonctionnelles.

Applications de l’analyse au calcul des grandeurs (aires, v olumes. . .).

Limites à l’infini.

Mouvement à accélération centrale.

Loi normale.

76

Exercices d’algèbre et géométrie ❁ ❁ ❁

Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout.

Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphis mes.

Exercices sur les endomorphismes diagonalisables.

Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétr ies.

309

315

Exercices faisant intervenir des matrices inversibles.

Exercices faisant intervenir la recherche et l’emploi de ve cteurs propres et valeurs propres.

Exercices faisant intervenir les angles et les distances en dimension 2 et en dimension 3.

321

327

334

Exercices sur la cocyclicité.

301

304

77

Exercices faisant intervenir des déterminants.

Exercices de géométrie plane faisant intervenir des triang les isométriques ou semblables.

Exercices faisant intervenir des méthodes ou des d’algorit hmes de calcul en algèbre linéaire.

Exercices faisant intervenir des similitudes planes direc tes ou indirectes.

Exercices faisant intervenir la notion de barycentre.

Exercices faisant intervenir les nombres premiers.

Exercices faisant intervenir les relations entre coefficien ts et racines d’un polynôme.

Exercices sur les formes quadratiques.

Exercices de géométrie résolus à l’aide des nombres complex es.

Exercices sur les cercles.

Exercices sur les aires et les volumes.

Exercices sur les coniques.

Exercices faisant intervenir polynômes et fractions ratio nnelles surRouC.

Exemples d’étude de courbes planes.

Exercices faisant intervenir la réduction des matrices rée lles symétriques.

Exercices faisant intervenir des applications affines.

Exercices faisant intervenir des isométries affines en dimen sion 2 et en dimension 3.

303

302

323

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332

329

Exercices sur les propriétés métriques des courbes planes ( longueur, courbure. . .).

331

333

330

317

319

316

320

Exercices sur les isométries vectorielles dans les espaces euclidiens en dimension 2 et en dimension 3.

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313

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314

312

310

311

Exercices faisant intervenir des dénombrements.

305

308

307

306Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM et met tant en uvre des algorithmes associés.

Exercices faisant intervenir les notions de congruence et d e divisibilité dansZ.

Exercices sur les groupes.

Exercices faisant intervenir la division euclidienne.

Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires.

Exercices faisant intervenir la notion de rang.

Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polyn ômes.

338

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346

347

Exercices sur les propriétés métriques des courbes de l’esp ace.

Exemples d’étude des isométries laissant invariante une pa rtie du plan, une partie de l’espace.

Exercices faisant intervenir des groupes en géométrie.

Exercices de construction en géométrie plane.

Exercices de géométrie faisant intervenir le choix d’un rep ère.

Exercices de cinématique du point.

Exercices sur les triangles.

Exemples de résolution de problèmes modélisés par des graph es.

Exercices faisant intervenir la trigonométrie.

78

422

417

Exemples d’approximations de fonctions numériques ; utili sations.

411

429

433

431Exemples de recherche d’extremums numérique de deux variables.

Exemples d’étude d’intégrales impropres.

Exemples de résolution de systèmes différentiels linéaires .

Exemples d’utilisation de développements limités.

Exemples de calcul de l’intégrale d’une fonction continue s ur un segment.

Exemples de résolution d’équations différentielles scalai res, linéaires ou non linéaires.

Exemples d’utilisation d’intégrales pour l’étude de suite s et de séries.

79

Exemples de séries de Fourier et de leurs applications.

d’une fonction numériqu e d’une variable, d’une fonction

Exemples de calculs d’intégrales multiples.

Exemples de calculs d’aires et de volumes.

Exemples d’utilisation de changement de variable(s) en ana lyse.

409

407vergentes, de sommes partielles de sériesExemples d’évaluation asymptotique de restes de séries con divergentes.

405

402

434

403

404

415Exemples d’applications du théorème des accroissements fin is et de l’inégalité des accroissements finis pour une fonction d’une variable réelle.

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421

Exemples d’utilisation de suites ou de séries pour l’étude d ’intégrales.

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432

Exemples d’approximations d’un nombre réel.

430

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Exemples d’étude de suites définies par une relation de récur rence.

401

Approximations du nombreπ.

Exercices d’analyse et probabilités ❁ ❁ ❁

413Exemples d’emploi de séries entières ou trigonométriques p our la recherche de solutions d’équations différentielles.

Exemples de comportement asymptotique de suites ; rapidité de convergence ou de divergence.

Exemples d’étude de suites de nombres réels ou complexes.

Exemples d’étude de fonctions définies par une série.

Exemples d’étude de la convergence de séries numériques.

Exemples de calcul exact de la somme d’une série numérique.

Exemples d’étude de suites ou de séries divergentes.

Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux.

Exemples de développements en série entière. Applications .

Exemples d’étude de séries réelles ou complexes non absolum ent convergentes.

410e d’une suite ou d’une série deComparaison, sur des exemples, de divers modes de convergenc fonctions d’une variable réelle.

Exemples d’étude de fonctions définies par une intégrale.

Exemples d’équations différentielles issues des sciences e xpérimentales ou de l’économie.

Exemples d’utilisation des théorèmes de convergence domin ée et de convergence monotone.

435

436

437

438

Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes.

Exemples de calculs de primitives.

Exercices faisant intervenir des variables aléatoires.

Exemples de problèmes de dénombrement.

439Exemples de calculs de la norme d’une application linéaire c ontinue. 1 440Exemples de calculs de la longueur d’un arc de classeC. ′ 441Exemples de systèmes différentiels linéairesAYY = à coefficients réels constants en dimension 2. Allure des trajectoires.

442

443

Exemples d’exercices faisant intervenir le calcul des prob abilités.

Exemples de résolution approchée d’équations

80

F(X) = 0.