Notes sur un article de Vaughan de

Bruno Martin

Description

Niveau: Elementaire
Notes sur un article de Vaughan de 1974 Bruno Martin 25 mai 2011 Résumé Soit An le plus grand coe?cient en valeur absolue du polynôme cyclotomique d'ordre n. Vaughan [10] montre qu'il existe une infinité d'entiers n tels que An > exp ( n log 2 log2 n ) . Dans cette note, nous détaillons les calculs de [10]. Nous donnons également une preuve élémentaire du résultat de Vaughan manifestement due à Sa?ari. Enfin, en annexe, nous restituons les énoncés et preuves respectives de deux résultats de Schur et Bateman sur les coe?cients des polynômes cyclotomiques. 1 Introduction Pour n ? N?, on note ?n le n-ième polynôme cyclotomique soit ?n(X) = ∏ 16k6n (k,n)=1 ( X ? e(k/n) ) Le polynôme ?n est unitaire de degré ?(n) et l'on pose ?n(X) = ?(n)∑ m=0 a(m,n)Xm. Rappelons que ?n est à coe?cients entiers et que l'on dispose de la formule ?n(X) = ∏ d|n (Xd ? 1)µ(n/d), 1

• bateman sur les coe?cients des polynômes cyclotomiques


• p6y ?


• formule d'inversion de möbius de l'identité


• preuve du théorème


• outils de nature analytique


• formule


• coe?cients


• ième polynôme

Sujets

• Martin
• Formule

Informations

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• Langue: Français

Extrait

An
n n

log2
log n2A > exp n :n
n2N nn
Y
(X) = X e(k=n)n
16k6n
(k;n)=1
’(n)n
’(n)X
m (X) = a(m;n)X :n
m=0
n
Y
d (n=d) (X) = (X 1) ;n
djn
eaughanqmanifestementretcoduela?pSaari.pEnn,25enenannexe,unenouVsestrestituonsetlesv?nonc?sSoitetdepreuv?esl'onrespr?sultatectivexistees[10]ded'ordredeuxer?descyclotomultatspdeabsolueScthplusur2011etBrunoBatemelonsanVsurecienlesetnonsoseVuletsedesdupqu'ilolyn?mesmoncyclotoaughanmiques..1LeInolyn?metrouductionunitairePdegr?ouridonolyn?meNousl'on0].ose1du,aleuronennoteecien[granddeleleR?sum?calculsmai-i?meMartinp1974olyn?meRappcyclotomiquequsoitaughanlesestd?taillonscooustsntiersnote,quecettedispDansdequeformtelstai?l?menunpreuvdedetrearticleNotes?galemeninnit?unetierssurend'co1ecienY
nX 1 = (X):d
djn
n < 105 n
0 1 1
A = max ja(m;n)j:n
16m6’(m)
An
c > 0 n1

4=3A > exp c (logn) ):n 1
c > 0 n2
c2
log n2A > exp n :n
c > 0 n3

c3
log n2A < exp n :n

log2
(1+o(1))
log n2A < exp n (n!1):n
log 2
n

log2
log n2A > exp n :n
duduisons(2)enourannexe.laErd?sBatema?tablitladans1[3],qu'ilestimationexiste1937quneum?riLanqu'?tablitconstaterveteuneeinnit??d'entr?stiersobtieneutLehmerpecourL?lecesqlesueoptimale,ls1975pexisteOnoutit?.l'identierdeeutM?biusquedehersionCettevobtend'intule[1].formd?monstrationlafournitviaqued?duitlesIltsconjetcturnouseequ'ilenexistetesetlaenquicnousaughantel[10].queaughan)pinnit?ourquereprouneiinnit?noted'entouttiersncourte,desetprendretairep?l?menmentfait?tanuronSciduetderni?reaestmonstrue?simplemendparLan(1)IlIltprouvuneeenlui-m?me[6]cettetconjecturepde,grandes.co(3)ienresdedi?renprennentes(2)([4]encore,restituons[5]).preuvPdearr?sultatailleursannexe.Erd?sconstanconjecturequedansguran[3]dansqueest(1)faitestc'estessenetiellemenVtenoptimaldanse,Th?or?meautremen(VtIlditunequ'ild'entiersexistetelstaleursarbritairemen,aleurstevsutelledansqueOnpourdeux2mani?log2logn log An2 log n2
n

log2
log n2maxa(m;n)> exp n :
m
L
(k) k
n
5 y
Y
n =n(y) = p
p6y
(p)= 1

n (n) = 1
n
n> 10
X logn 1 log 2 1
!(n) = 1 +O(1) = 1 + +O :
2log n log n (log n)2 2 2p6y
(p)= 1
X
logn = logp +O(1)
p6y
(p)= 1
X
= logp +O(1)
p6y
p1 4mod5

,tde?fonction(3)pest?l?menconstruitepreuvded'entierslaeumani?re1suivqu'ilanite.deOnfort,notedeVOnledesymquibd?monstrationoleunedehlet).Legendreanalytiquemoedulodufait,de.unPqu'ilourfacteursEnenassezLemmegrand,ponparpformeoseon1toutRemarqueth.2esteourenpvmaximaldeordredeundesatisfaisandesaughanOntiers1.d'enpreuvfamillelesLanote.jeparticulier?sultatEn?(4)uneo?quel'?toilepremiers?tablittelssignietiersque.tier1.acourI.5de[9],exemplelaour(4)dd?signenitionsuit,ordrece3Dansce?or?mequedulPremi?reetaire.nomplusbrepreuvdefaitfacteursexistepremierserronsdeNousl'enDiricsoitprix)toujoursMellin,impair,(transform?esetnaturedonclsdeoutdiviseursutilisebreD?monstrationnomaleCette(?th?or?me.eIllaserad?tailsutilefournirdeestdispcetteoserctifd'uneL'obestimationrrelativplusemenoutsavoirpr?ciseexisteduinnit?nomtelsbredel'oncfrahapitrejoutedeouparnonplelafacteur?2,d'undemaximal.mani?re?(a; 5) = 1
(t)
(t;a; 5) = +R(t);
(5)
Z t du
(t) = ;
logu2

t
R(t) =O (t> 2):
3(logt)
Z Zy y 1
logn = logtd (t) +O logtdR(t)
2 2 2
1 1
= y 1 +O ;
22 (logy)
1
log n = logy log 2 +O2 2(logy)
X X
1 = 1
p6y p6y
(p)= 1 p1 4mod5
1 y y
= +O :
32 logy (logy)
y logn n;y!1

22 logn 1 +O(1=(log n)2y
=
logy 3log n 1 + log 2= log n +O 1= log n)2 2 2
2 logn log 2 1
= 1 +O ;
2log n logn (log n)2 2
2
conclusionquandbresoublier,(sanssortepr?c?deecquionceth?or?meD'apr?stouetm?tiques,aarith-ponsenprogressisenD'apr?spremiersl'onsenePbrlinomvdeslith?or?meour4a),arithm?tiques,progressionstoujourspremiersa,nomondet,lepr?sende?qued'o?obtienlibit,lacons?quensouhait?e.ard'apr?slesup j (z)jnjzj61
supj (z)j6 (’(n) + 1)A :n n
jzj61
j (z)jn
X1
c =c (n) = r(r);m m
m
rj(m;n)
n
cm
n
m7!cm
p 2N
(
1 p pjnp
c =p 1
p
m> 1
jc j< 1:m
m2N
1
c = c :5m m
5
0<"< 1 C(")> 0
C(")
jc j6 :m "m
0 0(mm;n) (m;m ) = 1 uv
0 0 0(u;u ) = 1 uj (m;n) u j (m;n)
dEnviseur,estappliquerprincipalesla?maC'estjorationatrivialve,Ilformeestsuppdoncquesil'usage.utileedeladisplemmeoserformeoseth?or?mep.sinon.deiii)queOnD?monstrationa:pdour2toutnousonecsuite,delaest,tDansan.dansd'uneNousrepr?sendetatiounn1dequeiv)(4)Onla?entier.uvC'estosecalculOn?meni)iii)faciler?sulte?crirettoutpuisi,deemier,LemmeprauronsesttquelquesvorsquedonLduii)propri?t?sv)lesPourdetoutformeative.amultiplicecestsuivmots,lelaonnons,,il(4).existelaprtiereenfonctionestao?Lconsistei)telaii)punour?lfournirtaire.uneCelaminorationdirectemendeeti)deii).5,5 n
X X1 1 1
c = d (d) = d (d) = c :5m m
5m 5m 5
dj(5m;n) dj(m;n)
1jc j6 1=pp
"
limc p = 0:p
p
m 7! cm
2
jzj< 1 n2N
1 X
mj (z)j = exp < c z ;n m
m=1
log
jzj< 1
Y d (n=d)j (z)j = (z 1)