PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Romain

Description

Niveau: Elementaire
PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 6 : Géométrie élémentaire du plan Généralités. Exercice 1. Soit A, B et C trois points non alignés du plan et p un réel. On considère les points A?, B? et C? définis par : ??? AA? = p???AB ; ??? BB? = p???BC ; ??? CC? = p??CA. 1. Les points A?, B? et C? peuvent-ils être alignés ? Justifier. 2. Exprimer A? (resp. B?, C?) comme un barycentre des points A et B (resp. B et C, C et A). 3. Montrer que les triangles ABC et A?B?C? ont le même centre de gravité. Exercice 2. La droite d'Euler. Soit ABC un triangle du plan. On note respectivement G, H et O son centre de gravité, son orthocentre et le centre de son cercle circonscrit. 1. Soit M le point tel que ???OM = ??OA+???OB+???OC. Montrer que M = H . ( Indication : exprimer ???AM en fonction de ?? OI avec I milieu de [BC] ; en déduire que (AM)?(BC). Raisonner de même avec les autres points du triangle.) 2. En déduire que O, G et H sont alignés (c'est la droite d'Euler du triangle ABC) ou confondus.

• unique cercle de rayon minimal


• equation cartésienne


• droite d'euler


• ???u ?2


• centre du cercle


• milieux des côtés du triangle


• repère orthonormal direct

Sujets

• Mathématiques
• Équation cartésienne
• Droite d'Euler

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI A 20092010

Mathématiques

Feuille d’exercices 6 : Géométrie élémentaire du plan

Généralités.

Lycée Brizeux

′ ′′ Exercice 1.SoitA,BetCtrois points non alignés du plan etpun réel. On considère les pointsA,BetC définis par : −→ −→ −−→ − → −−→ −→ ′ ′ ′ AA=pAB;BB=pBC;CC=pCA. ′ ′′ 1. LespointsA,BetCpeuventils être alignés? Justifier. ′ ′′ 2. ExprimerA(resp.B,C) comme un barycentre des pointsAetB(resp.BetC,CetA). ′ ′ ′ 3. Montrerque les trianglesABCetA B Cont le même centre de gravité.

Exercice 2.La droite d’Euler. SoitABCun triangle du plan. On note respectivementG,HetOson centre de gravité, son orthocentre et le centre de son cercle circonscrit. −−→−→−→−→ −−→ 1. SoitMle point tel queOM=OA+OB+OC. Montrer queM=H. ( Indication : exprimerAMen fonction −→ deOIavecImilieu de [BC] ; endéduire que (AM)⊥(BC). Raisonner de même avec les autres points du triangle. ) 2. Endéduire queO,GetHsont alignés (c’est la droite d’Euler du triangleABC) ou confondus. 3. SoitLle centre du cercle circonscrit au triangle dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle ABC. Montrer queLest sur la droite d’Euler (si elle existe) du triangleABC.

Exercice 3.Le plan est muni d’un repère orthonormal direct. Montrer qu’un triangleABCest équilatéral direct si et seulement si : 2 a+jb+j c= 0, oùa,b,cdésignent les affixes respectives deA,B,C.

Exercice 4.Le plan est muni d’un repère orthonormal direct. SoitA,B,CetCquatre points du plan deux à deux distincts. Sur les côtés du quadrilatèreABCD, on construit les triangles isocèles rectanglesAP B,CQB, CRDetASDtels que :      −→−→−→−→−→−−→→−→ π P A, P B=QB, QC=RD, RC=SD, SA=. 2 On souhaite montrer queP QRSest un parallélogramme. Pour tout pointM, on noteml’affixe deM. 1 1. Montrerquep= (a(1 +i) +b(1−i)). Puis donner une expression similaire pourq,rets. 2 2. Endéduire quep+r=q+s. Conclure. 3. Donnerune condition nécessaire et suffisante sur les pointsA,B,CetDpour queP QRSsoit un rectangle.

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Repères orthonormés, produit scalaire et déterminant.   ~ ~ Sauf mention contraire, le planPest muni d’un repère orthonormé directRO, i, j.

  1 3 Exercice 5.On considère un vecteuru~−,et le pointC(0,1). 2 2 ~ 1. Donnerles coordonnées dansRdu vecteur~vtel que (v~~,u) est un base orthonormée directe deP. 2. SoitAde coordonnées (−1,1) dansR. Déterminer les coordonnées deAdans (v~Cu,,~)    −→ 1 33 1 Réponse :v=−,−.A=,. 2 22 2

~ ~ Exercice 6.SoitP(1,−1). Donner les coordonnées du pointM=O+ 2i+jdans le repère polaire attaché au 2 2 pointP. Réponse :M= (−,3 ) 2 2

−→ Exercice 7.Identités usuelles.Soient~uetv~deux vecteurs deP. Établir les identités suivantes : −→−→ 2 −→ 2 −→ 2 →−→− ku+vk=kuk+kvk+ 2u∙v −→−→ 2 −→ 2 −→ 2 →−→− ku−vk=kuk+kvk −2u∙v −→ 2 −→ 2 →−→−→−→− kuk −kvk= (u+v)∙(u−v) SoitABCun triangle direct, on notea=BC, b=AC, c=AB. Retrouverla formule d’Al Kâshi:   2 22 \ a=b+c−2b ccosBAC .

Exercice 8.L’orthocentre. 1. Montrer,en employant le produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes. 2. SoitABCun triangle. On noteOle centre etRle rayon du cercle circonscrit àABC. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, e~ 1 e,~ 2 ). On note respectivementα,βetγles angles polaires des points A,BetC. Montrer que les coordonnées de l’orthocentre deABCsont :

(R(cos(α) + cos(β) + cos(γ)), R(sin(α) + sin(β) + sin(γ)))

Exercice 9.SoitA(1,1) etu~(1,−1). Donner les coordonnées du projeté orthogonal d’un pointM(x, y) sur la droite passant parAet dirigée paru~(1,−1).

Exercice 10.SoitDune droite passant par un pointAet dirigé par un vecteuru~. Pour tout pointMdu plan, on note :d(M,D) la distance deMàD. Montrer l’égalité suivante :   2 −→ −−→ u 2 2 AM=d(M,D) +.AM . −→ ||u||

Remarque : faire aussi un dessin.

2 2 Exercice 11.Soitk∈R. On considère les trois points suivants :A(kk ,), B(−k,0), C(1, k).   −→−→ Calculer detAB, AC. Que peuton en conclure?

Exercice 12.Calculer l’aire du triangle formé par les points suivants :A(1,1),B(−1,3) etC(3, λ). A quelle condition cette aire estelle égale à 1?

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Utilisation du produit scalaire et du déterminant. Droites et cercles.

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Exercice 13.SoitABCun triangle. Montrer que le centre de gravitéGdeABCpartage le triangleABCen trois trianglesABG,BCG,CGAde même aire.

Exercice 14.On considère les pointsA(−1,0),B(2,4) etC(3,3) 1. Calculerl’aire du triangleABCpuis la distance deAà (BC). 2. Donnerune équation de la droite (AB). En déduire la longueur de la hauteur issue deC. 7 77 1. Aire =; distance =. 2. 4x−3y.hauteur =+ 4 = 0 ; 2 5 2

Exercice 15.SoitR(1,4),S(−4,2) etT(3,−1). Préciser la nature du triangleRSTet donner un équation cartésienne de la hauteur issue deR. Réponses :RSTest isocèle rectangle en ...; 7x+ 3y−5 = 0.

2 Exercice 16.Pour toutk∈R, on noteD k la droite d’équation catésienne : (1−k)x+ 2ky= 4k+ 2.Montrer que Ω(1,2) est équidistant de toutes les droitesD k .

′ Exercice 17.SoientDetDles droites d’équation 3x+ 2y= 1 et 4x+ 3y= 5. ′ 1. MontrerqueDetDse coupent en un point Ω dont on donnera les coordonnées. ′ 2. SoitA(−5,5). Donner les coordonnées deB, projeté deAsurDparallèlement àD; deCprojeté deA ′ surDparallèlement àD. 3. Calculerl’aire du parallélogramme ΩA B C. ′ 4. Endéduire les distances deAàDetD.

Exercice 18.SoientD 1 etD 2 les droites d’équation cartésienne respective 2x+y= 0 et−2x+ 4y+ 1 = 0. Déterminer des équations cartésiennes des bissectrices de ces deux droites. Réponses : 6x−2y−1 = 0; 2x+ 6y+ 1 = 0.

Exercice 19.On considère les pointsO,A(1,0) etM(a, b). 1. Aquelle condition les pointsO,AetMsontils alignés? 2. Donnerune équation cartésienne pour les médiatrices de [OA] et de [OM]. 3. Donnerl’équation du cercle circonscrit au triangleOAM.

Exercice 20.Des lignes de niveau. Soitk≥0 etA, Bdeux points du plan. Déterminer l’ensemble des pointsMtels que : 2 2 1.M A+M B=k. M A 2. = k. M B

2 22 2 Exercice 21.On considère le cercleCd’équationx+y+ 2αx+ 2βy+γ= 0, avecα+β≥γ. SoitT(x 0 , y 0 ) un point deCetDla tangente àCenM. 2 2 1. MontrerqueCest le cercle de centreA(−α,−β) et de rayonR=α+β=γ. −→ 2. MontrerqueATest vecteur normal àD. 3. Endéduire qu’une équation deDest donnée par :x(x 0 +α) +y(y 0 +β) +αx 0 +βy 0 +γ= 0.

Exercice 22.Soit Γ l’ensemble des cercles passant par le pointA(2,1) et tangents à la droite d’équation 4x−3y−10 = 0. Montrer qu’il existe dans Γ un unique cercle de rayon minimal dont on déterminera une équation cartésienne.

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