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A 2007 MATH. II PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la
copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.
L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il est amené à prendre.Étude d’une série trigonométrique
On rappelle que pour tout réel x> 0,
Z +∞
x−1 −tΓ(x) = t e dx.
0
Par ailleurs, pour tout réel t,
t −te +e
cht = .
2
On pose, pour tout réel x et tout α∈]0, +∞[,
+∞X sin(nx)
S (x) = . (1)α αn
n=1
L’objectifdeceproblèmeestd’étudierdifférentespropriétésdecettefonction.
Dans tout le problème, u représente un réel de ]−1,1[.
I Deux représentations de Sα
1 - Prouver que pour tout α> 1, la fonction S est continue surR.α
2 - Étudier, en fonction du paramètre γ∈R, l’intégrabilité sur ]0, +∞[,
de la fonction
γ−1t
J : t7→ .
te −u
Soit t≥ 0. On pose,
N−1 Xu
−t −t n α−1R (t,u) = −ue (ue ) t .N te −u
n=0
3 - Simplifier l’expression de R , en l’écrivant sous forme d’une fraction.N
4 - Prouver que pour tout u∈]−1,1[,
Z +∞
lim R (t,u) dt = 0.N
N→+∞ 0
2
hhhh5 - Exprimer, en fonction de Γ(α), la constanteK(α)∈R telle que pour+
tout α> 0,
Z +∞+∞ α−1 nXut u
dt =K(α) , pour tout u∈]−1,1[. (2)
t αe −u n0 n=1
ix6 - On admet que l’identité (2) reste vraie aussi pouru =e oùx∈]0,2π[.
En déduire pour x∈R\2πZ, l’identité suivante:
Z +∞ α−1sinx t
S (x) = dt.α
2Γ(α) ch t−cosx0
7 - Montrer, pour tout M > 0, pour tout u∈]−1,1[, l’égalité suivante:
Z Z+∞M Mα−1 α−1Xt tndt = u dt.
n+1cht−u (cht)0 0n=0
8 - Établir, pour tout u∈]−1,1[, l’identité
Z Z+∞ +∞M α−1 +∞ α−1X Xt tn nlim u dt = u dt.
n+1 n+1M→+∞ (cht) (cht)0 0n=0 n=0
9 - Pour x∈R\πZ, exprimer S (x) en fonction de fonctions trigonomé-α
triques et de G oùα
+∞X
nG (u) = a u pour u∈]−1,1[α n
n=0
avec Z +∞ α−1t
a = dt. (3)n n+1(cht)0
II Comportement asymptotique
Soit B :]0,+∞[→R une fonction continue telle que:
Z +∞
|B(s)| ds< +∞. (4)
0
λ−1 +B(s) =as (1+o(1)), s→ 0 , a> 0, λ∈]0,+∞[. (5)
3
hhhhh10 - Prouver que pour tout ε> 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout n≥ 1,
Z δ a −ns λ−1 −ns(B(s)e −as e ) ds <ε Γ(λ).
λn0
11 - Prouver que pour tout δ > 0, il existe une constante C(δ) > 0 ( que
vous exprimerez sous la forme d’une intégrale indépendante den ) telle
que pour tout n> 1
Z