CI Les modèles de description fonctionnels et structurels TD n°3 SADT

Description

Niveau: Supérieur
CI 1 - Les modèles de description fonctionnels et structurels TD n°3 : SADT Centrale-Supelec PSI 2005 COMPORTEMENT DYNAMIQUE D'UN VEHICULE AUTO- BALANCE DE TYPE SEGWAY® PARTIE I - ANALYSE SYSTEME Le support de l'étude est le véhicule auto balancé Segway® . Il s'agit d'un moyen de transport motorisé qui permet de se déplacer en ville. En termes de prestations, il est moins rapide qu'une voiture ou qu'un scooter, plus maniable, plus écologique, moins encombrant et nettement plus moderne. La conduite du Segway® se fait alors par inclinaison du corps vers l'avant ou vers l'arrière, afin d'accélérer ou freiner le mouvement ( comme pour la marche à pied dans laquelle le piéton s'incline vers l'avant pour débuter le mouvement). Les virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la poignée directionnelle située sur la droite du guidon (voir photographies 1). La spécificité de ce véhicule est d'avoir deux roues qui ont le même axe de rotation, avec son centre de gravité situé au dessus de l'axe commun des roues, si bien qu'on se demande comment rester à l'équilibre une fois monté sur la plate-forme. Tout comme le cerveau permet à l'homme de tenir debout sans tomber grâce à l'oreille interne, le système comporte un dispositif d'asservissement d'inclinaison, maintenant la plate forme du véhicule à l'horizontale ou encore la barre d'appui, supposée orthogonale à cette

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Sujets

• Segway

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Extrait

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Sant - mention mathmatiques

UE Math III Algbre - MAT2002L ————————

P LANCHE D ’ EXERCICES III - P OLYNôME MINIMAL - T HORèME DE C AYLEY -H AMILTON -

F Exercice 1.Dterminer le polynÔme minimal des matrices suivantes, oÙa6=b:       a 0 0a 1 0a 1 0a 1 0a 0 0       0 a 0, 0a 1, 0a 0, 0a 0, 0b 0, 0 0 a0 0 a0 0 a0 0 b0 0 b       a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0 0 a 1 00 a 1 00 a 0 00 a 0 00 a 0 0      , , , , .       0 0 a 10 0 a 00 0 a 10 0 b 10 0 b 0 0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 b0 0 0 b F Exercice 2.SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme nilpotent deE. 1. Sans utiliser le polynÔme minimal, montrer que le polynÔme caractristique deuest n n p u = (−1)X. Comment procder avec le polynÔme minimal ? 2. Par rcurrence, montrer qu’il existe une baseBdeEtelle que la matrice deudans la base Bsoit triangulaire suprieure avec des0sur la diagonale. 3. Inversement, montrer que tout endomorphisme deEdont la matrice dans une baseBde Eest triangulaire avec des0sur la diagonale est nilpotente d’indice de nilpotencep6n. F Exercice 3.SoitR n [X]leR-espace vectoriel form des polynÔmes de degr infrieur ou gal Àn. Soitu:R n [X]→R n [X]l’application qui À un polynÔmePassocie le reste de la division 2 euclidienne dePparX−1. 1. Montrer queuest linaire. 2 2. Calculeruet en dduire queuest diagonalisable. F Exercice 4.Trouver une condition ncessaire et suffisante pour que les matrices relles sui- vantes soient diagonalisables :    a b c1 a b    A=,0 a dB=0 1 c. 0 0 a0 0 d F Exercice 5. 1. SoitJune matrice complexe deM n (C)dfinie par   0 10 .. .0 . . 0 01 . . . . . . . . . 0  . .  0 .  1 1 0. . .0 p 1.1. CalculerJpour tout entierp∈{1, . . . , n}. 1.2. En dduire queJest diagonalisable. n−1 1.3. Montrer que1 n ,J, . . . ,Jsont linairement indpendants.