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Correction du DL n˚17
Mines-Ponts 2000
TheoremedeCauchycasline´airesanssecondmembre Toutesles´equationsdi´erentiellesconside´re´esdansceproble`mesontdes´equations die´rentielleslin´eairesdusecondordrere´soluesenya`mbrendmesecosans coefficients continus sur R . Leurs solutions sont des R solutions et le probleme de 0 n . En particulier cauchyauxdonn´eesinitiales(t0, y0, y0) admet une unique solutio lafonctionnulleestlaseulesolutionauproble`me(t0,0,0). .
Premie`repartie
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caract´erisation
dunesolutionpe´riodique
Sifest solution deE1et admet 2πapl´oerrpiooudresf(0) =f(2π) et 0 0 f(0) =f(2π). Reciproquementsouscettehypotheseend´enissantgparg(t) =f(t+ 2π), g est 0 solution deE1pour le probleme de Cauchy (t= 0, f(2π), f(2π)) .E1´etaenutn e´quationdie´rentiellelin´eairere´solueenyborpemelunitec,sientscon`acoec admet une unique solution et doncg=fetfadmet 2πdeerio´pruop
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constructiondunesolutionpe´riodique
2.1 Sifest une solution admettant 2πe´irdoselotuoidnpourepE1elle est de classe Cconvmedeeoreuth´esdshte`yhoplcseonedierv´et´essesriamroedelegrenecn de Fourier
2.2 0 Commefest de classeC1le cours donnecn(f) =incn(fonfaqiautna`.)nEpalp 2 donccn(f”) =n cn(fuantpliqenapduiteicudocclluuaacetdenenO.e´dn) Fourierdordrendumembredegauchedele´quationque
2 n cn(f) +cn1(f) = 0
1
2.3 Par suite avecn= 0c1(f) = 0puis cn(f) = 0pour n ne´gatif. Puis pourndans c0(f) Ncn(f) =2existOn.deiune´disefqteu (n!)
+X exp(int) f(t) =c0 2 (n!) n=0
Remarque :sqnuei:surtoutdufaittiqcuieuliaefnon´crtcieopniaoirfaIlraud de´nieestbiendeclasseC2e´iredssseeded´emesdtionrivaasileltn´htseroeetinu 2 4 fonctions normalement convergentes 1/(n!) =o(1/n).
3
ine´galit´ev´eri´eeparfetf
3.1 Lase´riedeFourierdef,fesentevergtconmenemrlatnone´atsulpeD.ee´nrobt avecN(f) =supR{|f(t)|}comme f est solution deE1riellee´veN(f”) =N(f) . Lin´egalite´edesaccroissementsnisconduita`lamajorationde|C|et|D|par 2 h N(f). 2
3.2   0 0h1 2hf(t) =DC+f(t+h)f(th) par suiteh >0N(f)+N(f) avec 2h   p h1 +(2) . On conclut 2h p 0 N(f)(2)N(f)
Deuxie`mepartie
1
rayon de convergence
n n x un(x) = (1)2dere`itnednoyareundalereeri´eeseletetse´´nmrgeconvergence (n!) R=osmmnetoe´gede
2
signe de g
0 Onv´eriequelase´rieentie`rede´rive´edegde sommegconverge sur [0,2] par applicationducrit`eredesse´riesalterne´esd`eslerang0.Lesignedupremierterme 0 0 (ne´gatif)donnelesignedegsur [0,2] :g <s´ermelaiedeeˆmeD.0gconverge par applicationdumˆemecrit`erea`partirdurang1.Avecg(0) = 1 et g(2) = 12 +R1(2) avec|R1(2)|≤u2(2) = 1 ,g(2)0 , puis p p p p p 2 g= 1( (2)) (2) + +R2et( (2) |R2( (2))|≤|u3( (2)|soit 4 p p p 2 (2) |R2( (2))|≤<0,08 (en majorant (2) par 1,42 CommeR2( (2))<0 36
2
(Crite`respe´cialdesSA)onaa`nouveauparlamˆememajoration p g( (2)))>1,51,420,08 = 0 . Parde´croissancedegsurlintervalleonpeutconclurequegsannuleen p x0] (2),2] ,est positive avantx0´etntigaapveesr`.e
Troisi`emepartie
ETUDE de L’EQUATION :E2y”(t) +exp(t)y(t) =O
On note queE2´erendillelntieutensetaoie´uqneesr´ueol´einreaiyicestneoca` continus sur R .
1
ze´rosdelafonctiony
1.1 Dapre`slethe´ore`medeCauchycaslin´eairesanssecondmembrey= 0
1.2 Soitzsolution de F etyv´entH(riametcirtstisoptne[uresivα, βe´irenv.O]) z(t)0 0 ais´ement(utiliser1.1etfaireundessin)quez(α) = lim0et6= 0 et de tα tα+ 0 0 0 meˆmez(β)<0. Un calcul direct donne avecW(t) =y(t)z(t)y(t)z(t) , 0 W(t) = (exp(t)exp(a))y(t)z(t) est donc strictement positif sur ]α, β[. W est 0 0 croissante sur [α, β]) . CommeW(α) =y(α)z(α)>0 etW(β) =y(β)z(β)<0 ceciconduituneabsurdite´.Doncsur[α, βntervalled´eniposerz´uxdeair] conse´cutifsdez,ysannule. Remarque :tnpmisemelupnssepoenuriotsedematstseluse´rlzetyde signe strictxesurlesintervallesrespectifs(les´equationsdi´erentiellese´tantlin´eaires changer si besoinzenzet si besoinyeny)
1.3 Aveca=τ z(t) = sin(exp(τ /2)(tτ)) est une solution de F s’annulant enτet τ+πexp(τ /2)uxdeerz´ocsoe´snitucP.sfitearsuys’annule sur tout intervalle [τ, τ+πexp(τ /2)].
2
espacementdesze´rosdelafonctiony
2.1 0 Commeyn’est pas nulle ety(τ) = 0y(τ)6= 0.y´etantC1y est srictement monotone au voisinage deτet pour un certainc >0 non nulle sur ]τ, τ+c[. Cequijustielanotiondez´eroscons´ecutifs.
3
2.2 Avec 0<  < cSoitz(t) = sin(exp(β/2)(tβ)osre´zxuedselcevA. cons´ecutifschoisisonan´ecessairementunze´rodeydansl’intervalle semi ouvert [βπexp(β/2), βraocsnq´e[uPtn:
(βπexp(β/2))α < β < β
. En faisant tendrevers 0 ,
Quatrie`mepartie
βπexp(β/2)α < βDouat:tseluel´r
βαπexp(β/2)
1
FonctionΨ
On remarque que Ψ(t) =g(exp(t)) (g fonction de II) .
1.1 vn(t) =un(exp(t).x(−∞, a]|vn(t)|≤|un(exp(a)|eleteitsuenmrdeies´erqu num´eriqueconvergence(Rayondeconvergencepourg). Las´eriedefonctionsdetermege´n´eralvnconverge normalement donc uniform´ementsur(−∞, a].
1.2 Aveclaremarquepr´eliminaireΨestparcompositiondeclasseCavec Ψ”(t) =exp(2t)g”(exp(t)) +exp(t)g(exp(t))ceioutenda`tilosΨciuqudnoE2sur 0 R si et seulement si (x=exp(t)et xg”(x) +g(x) +g(xontivari´edraP.)0=) terme`atermedunes´erieenti`eresursonintervalledeconvergenceiciR,avecun changementdindicelere´sultatestimm´ediat.
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Vuelaremarquetze´rodeΨSietseulementsiexp(ted.gposotifiunsterz´)e Sur[0,2]gadmetluniqueze´rox0> sqrt(2) .Par croissance de l’exponentielle Ψ ln 2 admetunpluspetitz´erot0= ln(x0)>enislesz´eroscosne´ucitsfpuS.osop´dsn 2 de Ψt0,∙ ∙ ∙, tnen ordre croissant . Par application du III 1 c et III 2 ,Ψ admet des z´erosquisontdansAn= [tn+ctn,[ .An´etoerz´itetsplunpeutsixelie´mreftna de Ψ dansAntsup´eririctemenodcnts`rueatnsoittn+1tpui.arenOnedd´ re´currencequelesze´rosdeΨconstituentunesuitemonotonecroissante.LeIII1c prouve en prenantτlimarbitrairement grand que tn= +. Enfin en reprenant n→∞ tn+tn+1mn le III 1c etmn= avecτ=mnon atn< mn< tn+1mn+πexp.( ) 2 2 tt mn n+1nmn Dou`0< tn+1tnmntn+πexp= +( ) πexp( ) Par suite 2 2 2 tn+1tnmn 0<πexp( ) 2 2
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