COURS DE MASTER 2ieme annee MATHEMATIQUES PURES

Isabelle Chalendar

Description

Niveau: Supérieur, Master

• cours - matière potentielle : master

UNIVERSITE LYON I COURS DE MASTER, 2ieme annee (MATHEMATIQUES PURES) ANALYSE FONCTIONNELLE : Fonctions Harmoniques, Classe de Nevanlinna, Espaces de Hardy, et une introduction aux operateurs de Toeplitz et de Hankel Isabelle CHALENDAR - 2008 -

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• introduction aux operateurs de toeplitz et de hankel


• espace l2

Sujets

• Master
• Théorème de Hahn-Banach
• Théorème de Poincaré
• Espace L2

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Extrait

UNIVERSIT É LYONI COURSDEMASTER,2ièmeannée(MATH É MATIQUESPURES)

ANALYSE FONCTIONNELLE :

Fonctions Harmoniques, Classe de Nevanlinna,

Espaces de Hardy, et

une introduction aux opérateurs de Toeplitz et de Hankel

Isabelle CHALENDAR - 2008 -

2

Table

des

matières

1 Fonctions harmoniques 1.1 Rappels : théorème de Poincaré et théorème de Fejér . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Le théorème de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Le théorème de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Définition et propriétés des fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Théorie avancée des fonctions harmoniques 2.1 Rappels : théorème d’Hahn-Banach et mesures complexes . . . . . . . . . . 2.1.1 Conséquence de la théorie d’Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mesures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mesures complexes surTet fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites radiales des fonctions harmoniques surD. . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Rappels de théorie de la mesure surR. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Dérivées supérieures et inférieures d’une mesure à valeurs réelles et définie surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Limite radiale de l’intégrale de Poisson par rapport àµ∈ M(T) . . 2.3.4 Applications : description de certaines fonctions harmoniques . . . . 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 La classe de NevanlinnaN

3

7 7 7 8 9 16 24

27 27 27 27 29 33 33

35 41 44 45

47

4

4

3.1

3.2 3.3 3.4 3.5

Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Primitive de fonction holomorphe . . . . . . . +− 3.1.2 Fonctions log et log . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Décomposition de Jordan d’une mesure réelle Définition deN, fonctions deNsans zéro . . . . . . La formule de Jensen et ses conséquences . . . . . . . Description des fonctions deN. . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLEDESMATI È RES

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p Les espaces de HardyH(D),0< p≤ ∞ Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Inégalité de Hölder et Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.1.3 L’espaceL(T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ) . Fonctions sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions des espaces de Hardy et premières propriétés . . . . . . . . . Théorèmes de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Les fonctions intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Les fonctions extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 4.4.3 Facteurs extérieures des fonctions deH(D), 0< p≤ ∞. . . . . 2 4.4.4 L’espace de HardyH(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 4.4.5 Factorisations des fonctions deH(D), 0< p≤ ∞. . . . . . . . . p Résultats fondamentaux sur les fonctions deH, 0< p≤ ∞. . . . . . . p 4.5.1 Limites radiales des fonctions deH(D), 0< p≤ ∞. . . . . . . . p 4.5.2 Résultat de représentation des fonctions deH(D) pourp∈[1,∞] p p 4.5.3 Identification entreH(D) etH(T) pour 1≤p≤ ∞. . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 47 48 49 53 59 61

63 63 63 63 64 64 64

66 68 72 72 74 75 76

79 82 82 84 85 88

TABLEDESMATI È RES

5

6

7

Sousespaces invariants du shift 5.1 Introduction : le problème du sous-espace invariant . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Le problème du sous-espace invariant . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5.2 Le shift surℓetH(D) : définition et propriétes spectrales . . . . . . . . 2 5.2.1 Le shift surℓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.2.2 Le shift surH(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.3 Description de tous les sous-espaces invariants du shift surH(D. . .) . 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

Opérateurs de Hankel et opérateurs de Toeplitz 6.1 Opérateurs de Laurent et operators de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Opérateurs de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eléments de correction des exercices 7.1 Exercices du Chapitre I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Exercices du Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Rappels de topologie et régularité des mesures de Borel . . . . . . 7.2.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Exercices du Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Rappels sur les produits infinis de nombres complexes . . . . . . . 7.4 Exercices du Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Exercices du Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

5

89 89 89 90 92 92 94 95 100

101 101 107

115 115 122 122 123 127 127 130 133

6

TABLEDESMATI È RES

Chapitre

Fonctions

1

harmoniques

On désignera parDle disque unité ouvert deCet parTle cercle unité deC. L’ensemble des fonctions holomorphes surDest notéHol(D).

1.1

1.1.1

Rappels : théorème de Poincaré et théorème de Fejér

Le théorème de Poincaré

1 Soitw=f dx+gdyune 1-forme différentielle de classeC(i.e.fetgsont de classe 1 C) sur un ouvert Ω deC. Rappelons quedwest la 2-forme différentielle définie par 1 dw=df∧dx+dg∧dyet rappelons que sifest de classeC,dfest appelée la 1-forme ∂f ∂f différentielle associée àfet est définie pardf=dx+dy. ∂x ∂y On dit quewestferméesidw= 0 et on dit quewestexactes’il existe une fonctionϕ 2 de classeCsur Ω telle quew=dϕ(i.e.west la 1-forme différentielle associée àϕ).

Lemme 1.1.1Toute forme exacte sur un ouvertΩdeCest fermée.

∂ϕ ∂ϕ Preuve :Siw=dϕ=dx+dy, alors ∂x ∂y             ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ dw=dx+dy∧dx+dx+dy∧dy. ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y

Rappelons que le produit extérieur∧estanticommutatif, ce qui impliquedx∧dy= 2 −dy∧dx, dx∧dx= 0 =dy∧dy. D’autre part, commeϕest de classeC, nous avons

7

8FONCTIONS HARMONIQUESCHAPITRE 1.   2   ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ = = . On obtient donc : ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x   2 2 ∂ ϕ ∂ ϕ dw=−+dx∧dy= 0. ∂x∂y ∂x∂y

 Il existe une réciproque du Lemme 1.1.1 que nous admettrons (la preuve utilise la formule de Stokes, [7], Chap. 1, Section 2.8).

Théorème 1.1.1 (de Poincaré)SoitΩun ouvertsimplement connexe. Alors toute 1forme différentielle fermée surΩest exacte.

Remarque 1.1.1Tout convexe est simplement connexe.

1.1.2

LethéorèmedeFejér

Pourfcontinue surTet pour toutn∈Z, on définit len-ièmecoefficient de Fourier defpar Z 2π 1 it−int ˆ f(n) =f(e)e dt. 2π 0 X int ˆ Lasérie de Fourierdefest la sérief(n)e. Lasomme partiellede la série de n∈Z X ˆ it int Fourier defestS m (f)(e) =f(n)e. Le théorème suivant, que nous admettrons, |n|≤m dit que les sommes partielles ne convergent pas en général mais, sifest continue, on peut les “régulariser” et les rendre convergentes en prenant leurs moyennes.

Théorème 1.1.2 (de Fejér)Sifest continue surT, alors lamoyenne de Cesàro n X 1 S m (f)converge uniformément versfsurT. n m=1

Corollaire 1.1.1Les polynômes trigonométriques sont denses dans l’ensemble des fonc tions continues surT,C(T), pour la convergence uniforme surT.

Preuve :Pourf∈ C(T), la somme partielleS m (f) est un polynôme trigonométrique p X it int (un polynôme trigonométrique est une fonction de la formee→−7c n eavecc n ∈C). n=−p 

1.2.

1.2

D É FINITIONETPROPRI É T É SDESFONCTIONSHARMONIQUES

Définition et harmoniques

premières

propriétés

des

9

fonctions

Définition 1.2.1SoitΩun ouvert deCet soitfune fonctionf: Ω→C. On dit que 2 festharmoniquesurΩsifest de classeCsurΩet siΔf≡0surΩ, oùΔfest le 2 2 ∂ f ∂ f Laplaciendefdéfini parΔf= 2 + 2 . ∂x ∂y

2 Remarque 1.2.1Pour toute fonctionfde classeCsur un ouvertΩdeC, on a :

2 2 ∂ f ∂ f Δf= 4= 4 , ∂z∂z ∂z∂z     ∂1∂∂ ∂ 1∂ ∂ avec=−iet= +i. ∂z2∂x ∂y ∂z2∂x ∂y

En effet,    2 ∂f ∂1 ∂f∂f = +i ∂z∂z ∂z2∂x ∂y       1 1 ∂f ∂f∂f ∂ ∂ ∂f = +i−i+i 2 2∂x ∂y∂y ∂y ∂x ∂x   2 2 2 2 1 ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f = 2 +i−i+ 2 4∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y 1 = Δf, 4 2 2 ∂ f ∂ f 2 car = puisquefest par hypothèse de classeC. Via un calcul analogue, on ∂y∂x ∂x∂y 2 ∂ f 1 montre que = Δf. ∂z∂z4

Proposition 1.2.1Toute fonction holomorphe ou antiholomorphe sur un ouvertΩest harmonique surΩ

2 ∂f Preuve :Sif∈ Hol(Ω),fest de classeCet de plus≡0 sur Ω. Par conséquent, ∂z   ∂ ∂f Δf= 4≡0. Sifest anti-holomorphe,fest de la formegoùgest holomorphe. ∂z ∂z   2 ∂f ∂ ∂f Ainsifest elle-aussi de classeCet≡0 sur Ω. Par conséquent, Δf= 4≡0. ∂z ∂z ∂z 

Remarque 1.2.2SoitΩun ouvert deC. Une fonctionf: Ω→Cest harmonique si et seulement siRe(f)etIm(f)sont harmoniques surΩ.

La remarque ci-dessus est une conséquence immédiate du fait queRe(Δf) = Δ(Re(f)) et Im(Δf) = Δ(Im(f)).

10

CHAPITRE 1.

FONCTIONS HARMONIQUES

Corollaire 1.2.1SoitΩun ouvert deC. Si une fonctionf: Ω→Cest holomorphe, alors Re(f)etIm(f)sont harmoniques surΩ.

Le corollaire ci-dessus admet une réciproque à condition d’imposer une condition supplé- mentaire sur l’ouvert Ω.

Théorème 1.2.1SoitΩun ouvertsimplement connexedeCet soitf: Ω→Rde 2 classeC. Sifest une fonction harmonique surΩalors il existe une fonctionϕholomorphe surΩtelle queRe(ϕ) =f.

2 Preuve :On cherche une fonctiong: Ω→R, de classeCtelle quef+igsoit holomorphe sur Ω. D’après leséquations de CauchyRiemann,f+igest holomorphe ∂f∂g∂f∂g si et seulement si = et =−sur Ω. ∂x ∂y ∂y ∂x 1 ∂f ∂f Considérons la 1-forme différentiellewde classeCdéfinie parw=−dx+dy. ∂y ∂x Alorswest une forme fermée. En effet,     2 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f dw=−dx− 2 dy∧dx+ 2 dx+dy∧dy ∂x∂y ∂y ∂x ∂y∂x   2 2 ∂ f ∂ f = 2 + 2 dx∧dy ∂y ∂x = Δf dx∧dy = 0.

L’ouvert Ω étant simplement connexe, d’après le théorème de Poincaré, il existe une fonc- 2 tiongde classeCsur Ω telle que

∂f ∂f ∂g ∂g −dx+dy=w=dg=dx+dy. ∂y ∂x ∂x ∂y

∂g ∂f ∂g ∂f On a donc =−. La fonctionet = ϕ: Ω→Cdéfinie parϕ=f+igest donc ∂x ∂y ∂y ∂x holomorphe sur Ω et par constructionf=Re(ϕ). 

Remarque 1.2.3L’hypothèse “Ωsimplement connexe” est nécessaire.

En effet, posonsf(z) = log|z|pourz6= 0. Sia∈C\ {0}, il existe une détermination holomorpheϕdu logarithme surD(a,|a|), le disque ouvert centré enaet de rayon|a|(en

1.2.

D É FINITIONETPROPRI É T É SDESFONCTIONSHARMONIQUES

11

fait, plus généralement, il existe une détermination holomorphe du logarithme surCprivé ϕ(z) d’une demi-droite d’extrémité l’origine). On a donce=zpour|z−a|<|a|, ce qui Re(ϕ(z)) implique|z|=eet log|z|=Re(ϕ(z)). Ainsi log|z|est une fonction harmonique sur D(a,|a|) pour touta6= 0 et donc log|z|est une fonction harmonique à valeurs réelles sur C\ {0}. S’il existait une fonctionϕ 1 holomorphe surC\ {0}telle queRe(ϕ 1 (z)) = log|z|, on obtiendrait une détermination holomorphe Ψ du logarithme surC\ {0}, ce qui est absurde. En effet, rappelons qu’une fonction Ψ holomorphe sur un ouvert non vide Ω est Ψ(z) une détermination holomorphe du logarithme sur Ω sie=zsur Ω. D’après les équations de Cauchy-Riemann, on a l’équivalence suivante :   Ψ(z)  Re(Ψ(z)) = log|z|sur Ω e=z, z∈Ω ⇐⇒ Ψ holomorphe sur Ω Ψ holomorphe sur Ω  Ψ(z 0 ) ∃z 0 ∈Ω tel quee=z 0 .

S’il existait une fonctionϕ 1 holomorphe surC\ {0}telle queRe(ϕ 1 (z)) = log|z|, on ob- tiendrait une détermination holomorpheϕ 1 du logarithme surC\ {0}en posant Ψ(z) = ϕ 1 (z)−ϕ 1 (1). Ceci est absurde car toute détermination holomorphe du logarithme sur Ω R est une primitive de 1/z1, ce qui implique /zdz= 0 pour tout lacet tracé dans Ω. Or γ l’ouvertC\ {0}ne vérifie pas cette dernière condition.

On obtient ainsi la caractérisation suivante des fonctions harmoniques à valeurs réelles.

2 Corollaire 1.2.2SoitΩun ouvert deCet soitf: Ω→Rde classeC. Les trois condi tions suivantes sont équivalentes :

1.fest harmonique surΩ.

2. Pour toutz 0 ∈Ω, il exister >0etϕholomorphe surD(z 0 , r)tels quef=Re(ϕ) surD(z 0 , r).

3. Pour tout ouvert simplement connexeUdeΩ, il existeψholomorphe surUtel que f=Re(ψ)surU.

Les fonctions harmoniques sur un disque ouvertD(a, r) (a∈Cetr >0), continues sur le disque ferméD(a, r) et à valeurs complexes ont la propriété suivante.