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  ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,  ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,  DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,   DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ECOLE POLYTECHNIQUE (OPTION TA)
CONCOURS D’ADMISSION 1996
MATHEMATIQUES
  DEUXIEME EPREUVE OPTION M (Dureedelepreuve:4heures)
Lescandidatssontpriesdementionnerdefaconapparentesurlapremierepagedelacopie:MATHE-MATIQUES II - M.
Nombresalgebriquesetnombrestranscendants. DanstoutleproblemeKuess-tcunsoducoorpsserprdseeslRetK[X] leK-espace vectoriel des polynoˆmessurK.Pardentioi,nnureelαestlgabreueiqrlsurocespKlreeiselemtnssteielueαest racinedunpolynoˆmePeleuqertua,pp,aulenomnˆlypoaraetantnK[Xl]D.el,eeercontrairanslecasαest transcendant sur le corpsK. Lebutdeceproblemeestdetablirdesproprietessimplesdesnombresalgebriquesettranscendantssur un corpsK,d’en donner des exemples lorsque le corpsKtatsesulesruerllpqidpaupsienslontiraesidluceste obtenuspourcaracteriserdesguresgeometriquesconstructibleseetaucomalareglaps. Partie I SoientKun sous-corps deRetαecorsurliqueebrspeerglalnuKrsnapgiondse;I(α) l’ensemble des polynoˆmesPrpapeatantnaK[X] qui admettentαcomme racine: I(α) ={P|PK[X], P(α) = 0}.
I-1)I(α)seldedaeutinK[X]: a)euqrertemonDI(αdealeidnutse)K[Xˆnylemodecopnuxieenstnddu.Eeel]irMαunitaire (le coecient du terme deMαqinu)1alagetseegrdeuthauspldelqueueteI(αoˆnydsemepsloeledesbmlnesoit)K[X] proportionnelsaMαdansK[X], soit:I(α) ={P /QK[X], P=Mα.Q}. b)ou,puerqpounurqDertnomemoeylˆnPanantraeta,ppK[X],ctibeduntiitrraireuesneladK[X],soit le polynˆomeMαfaileelreleuqtuslitetuαtracinedsoiempulonyoˆP. PardenitionlepolynoˆmeMαest leipminonˆyelmoamldeαsurK,emoˆnyedeglupolredMα, noted(α, K),est leegrdedeαsurK. SoitK[α] leKeleinegnerdlrapamafleilsrdeele-espacevectsor q P q p 1, . . ., α, . . . , α:K[α] ={x /x=xpα ,qN, xpK}. Il est admis que l’ensembleK[α] est, pour les p=0 lois de composition somme et produit, un anneau. I-2)LedegredeαsurKalegtes1:a Lereelαet le corpsKtaoisnusvinaet:sceentreneselrmartnolreuqelavidonntantdemes,ei/lereelαientaappartKrdee,ii/ledegαsurKsetgeaalii1;i/K[αgetalaes]K. I-3)DanscettequestionledegredeαsurKaalegtse2: a)dalresicnoisnemiedePrK[αeomtnerrque]d;K[α] est un corps. 1