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Esperance Variance Inegalites de concentration L3: Probabilites

4 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
3. Esperance. Variance. Inegalites de concentration L3: Probabilites Exercice 1 (QCM). Un examen consiste en 20 questions auxquelles il faut repondre par oui ou par non ; chaque reponse juste est notee 1 point et chaque reponse fausse, 0 point. Un etudiant repond entierement au hasard : sa note finale est une variable aleatoire X. a. Soit Xk la note qu'il obtient a la ke question : calculer E [Xk] et varXk. b. Exprimer X en fonction des Xk ; en deduire E [X] et Var (X). c. Donner la loi de X ; calculer la probabilite pour l'etudiant d'avoir une note inferieure a 5. Quel est le majorant qu'on obtient pour cette probabilite, a l'aide de l'inegalite de Hoeffding ? d. Un etudiant serieux estime qu'il donnera une reponse exacte a chaque question avec une probabilite de 0,8. Quelle est la loi de sa note, son esperance et sa variance ? Donner une minoration pour la probabilite qu'il ait plus de 12. Exercice 2. Enveloppes. Une assistante de direction distraite range n lettres au hasard dans les enveloppes qu'elle avait prealablement remplies. On note N(?) le nombre de courriers qui arrivent effectivement a leur destinataire. Calculer E [N ]. Questions subsidiaires : calculer Var (N). En deduire que P (N ≤ 10) ≥ 0, 99.

  • minoration pour la probabilite

  • probabilite

  • independantes de meme loi

  • algorithme stan- dard de recherche du maximum

  • x1


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2 d.diolalreibaborpeeedt´liExprimXnen fonction deb,r,cetE[Sn1]. En d´eduire,parre´currence,laloideXn. Exercice 6. a.Une personne anhcopassnadse´lcroetuvrirsapeetveuto danslobscurit´e.Elleprendauhasardlescl´eslesunesapre`slesautresetles essaye. OnnoteXquesl´ecsseellelderbmonerlabonne.yaaeavtnedrtuoev Ensupposantquunecle´unefoisessay´eeestensuitemisedecˆote´,quelleest laprobabilit´epkqueteriosnnpereectt´eclla`aabelneonktatnevie`-etem (pk=P(X=kCalculer)) ?E[X(] et VarX). b.Statistique de Wilcoxon.Une urne contientNseunobluot´em´er1`aesde Nsepa`rseelastuers,auhasardetenO.artxectiuobssdleuelelrnunes sans remise, et on noteRklrapalenum´eroport´ek`-bemeeluor´tideeeurl.ne Donner la loi deRkecnairavs,.p´eronesetsaance c.On pose : Wn=R1+R2+∙ ∙ ∙+Rn. Calculerlesp´erancedeWnla loi du couple (. CalculerRi, Rj) pouri6=j, et 2 ve´rierquellenede´pendpasde(i, j). CalculerE[Wescecruiud-es´dnete] N sivementE[RiRj] puis la variance deWn. Exercice 7. Soit (Xn)n1oites.Suneteniol,iarlb´tgeteanndpemeˆeemsdvedetiuse´dni.a. Nit´tdeereldineD´emontrsitives.re`iopserueltnesteanva`a´endndpe.a.iunev Wald : E[X1+∙ ∙ ∙+XN] =E[X1].E[N] Exercice 8.Rang relatif et code de Lehmer.´dCrenoisaglnolshmesorittan-dard de recherche du maximum dans une liste de nombres (x1, x2, ..., xn) : 10Mx1 20 Pouri`2=an, faire : 30 SixM <ialorsMxi 40 Fini. 50 Fin dans lequel on faitn1 testsxM <k, etRnaffectationsMxi.Rnest le nombre derecords´dpenedd;linsdaquleoelrerde´gnselsosleartnxi, et est doncale´atoire(onsupposetouslesordres´equiprobables).Danslemeilleurdes casRn= 1, et dans le pire des casRn=noudraitcependantslueptor;ˆven pre´cissurletempsToceuq(thmegorilalˆuteTest de la formea+bn+cRn avec des constantesa, betciuql)unaagegthuclniiseieed´tntdelamad´epende 2 et calculerE[T] =a+bn+cE[Rn] ainsi que Var(T) =cVar (Rncela). Pour on fait apparaˆıtreRnpe´dni.a.vedemmos.lempsiesntdaenunesommec a.On noteYkle rang relatif dexkdans (x1, x2, ..., xkc-),d-a`rel.dgnaexk une fois que (x1, x2, ..., xkoslanedoicrrerdaP.tnasselpmexere)gne:´tsar {ω= (x1, x2, ..., x6) = (10,4,6,24,1,40)} ⇒ {(Y1(ω), Y2(ω), ..., Y6(ω)) = (1,1,2,4,1,6)}; do`uR6t6.E1,4eionseratix´t,suatautdrbscoreisro:t=3upnssapotontus lesordres´equiprobablespour(x1, x2, ..., xnuve)e´ireqr 1 si pour toutk,1ykk, n! P(Y1=y1etY2=y2etet ...Yn=yn) 0,sinon. End´eduirequelesYiosntseendad´epntinsiolsruelrennodt. b.ExprimerRnen fonction desYite´resquestiesoudrelortntcuddsnoilen,io c-`a-d.calculerE[Rn] ainsi que Var(Rn). c.Donner une majoration de  hi p p PRnlognalogn ,logn+alogn .