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Fiche1:lescorrig´esdecertainsexercices
Exercice 6SoientGun groupe,Nous-unspedigrouuge´tsniteπ:G−→G/Nl’homomorphisme canonique.De´montrerquelacorrespondancequiassociea`chaquesous-groupeLdeG/Nle sous-1 groupeπ(L)erbijeeunesentpr´euosselertnenoitcesdpeougrs-G/Net les sous-groupes deG contenantNpeD.noadcnpe´rsereevlus,cettecorresp´ugnitsiiselteses-ousslesdpeougresndic des sous-groupes.
R´eponse:nsioplenonscuscloreelsnvsuoire´nslanotaousgardotepaseN.sueiru´sednoitN 1 le´nonce´.Soulignonsunpointmineurmaisimportant:lanotationπstute´eepilistoreuonr limageinversedunepartiedelensembledarriv´ee,enloccurrencelegroupeG/N. L’homomor-phismecanoniquenestpasne´cessairementuneinjection,etparconse´quentilnestpaspossible de parler de son inverse. En fait,πere´nassneivtnitesnastpuatqilndifctjeidne. 1 Etape 1 SiLG/Nalorsπ(L)est un sous-groupe deGcontenantN. 1 SoitH=π(L). QueHsoit un sous-groupe deGuqneec´gnee´arelestunecons´enesuoviS. doutez ou si vous ne voyez pas comment faire, c’est un bon moment pour combler cette lacune qui ne doit plus exister parmi vos connaissances. 1 V´erionsqueHcontientN. Il suffira de montrer queπ({1}) = ker(π) =N. Rappelons quel´ele´mentneutredugroupeG/Nest la classeNo.iDdnetine´dalse`rpaπ,π(g) =gN. 1 Alors,π({1}) ={gG|gN=N}. CommeNest un sous-groupe,gN=Nsi et seulement 1 sigN(vezs´erievasuovituodsedznsAi).esiN=π({1}). PuisqueLme´ltnetneie´lntco 1 neutre deG/N,H=π(L) contientN. 1 Etape 2 Tout sous-groupeLdeGest de la formeH/NavecH=π(L). Cetteconclusionestimm´ediateapre`slapremi`ere´etape.Soulignonsquelanotationest cohe´rentepuisqueHcontientNet que,Nnsto´edaeudse-gruotuspoattne´niugidtsGqui le contient,H/Nest un groupe. Etape 3 L’applicationΠeedossaiuqquesous-cie`achasug-orpurguoeposG/Nson image in-verseparrapporta`πest une bijection entre les sous-groupes deG/Net ceux deGqui contiennent N. Ilreste`ave´rierlabijectivite´deΠ.Pourcefaire,ilsutdeluitrouveruneapplication inverse.Celle-ciestlapplicationquiassocie`atoutsous-groupeHdeGqui contientNle sous-groupeH/N. Notons que cette application de l’ensemble des sous-groupe deGcontenantNvers l’ensemble des sous-groupes deG/Nest induite parπ. En effet,
H/N={hN|hH}=π(H).
Etape4Lacorrespondancebijectivedele´tape3pre´servelessous-groupesdistingue´s. Nous montrerons que siHest un sous-groupe deGqui contientNalorsHsgn´udenasedtsiit Gsi et seulement siH/Nanedsitsi´ugndtseG/N. Rappelons d’abord que,N´e,ingudisttante´ 111 sigGalorsgN g=N. Ainsi, pour toutgG,NgHg. Alors,gHg=Hsi et 11 seulement sigHg /N=H/Nsi et seulement sigN H/N(gN) =gN. Etape5Lacorrespondancebijectivedele´tape3pre´servelesindicesdessous-groupes. Nous montrerons que siHest un sous-groupe deGcontenantNalors l’application qui associe a`uneclassegHdeHdansG, la classegN H/NdeH/NdansG/Nest une bijection. Avant deproce´der,soulignonsqueHn’estpas´nceseasrimenedttiisu´nge. Lapplicationde´niedansleparagraphepr´ece´dentestunesurjection.Pourvoirquecestune 0 0 1 injection supposons quegN H/N=g N H/N.Ctuav(a`´iceiuqeg N) (gN)H/N, qui 0−10 est´equivalent`adirequeg gHrnieCedestqurneuartuenemedfero´elligaet´.g H=gH. Nousavonsdoncv´eri´elapropri´ete´injective. Etape6Ge´neralisonsunpeu. Quepouvons-nousdiredelimageparrapport`aπd’un sous-groupe quelconque deG. Soit Huo-srguonuetslasitrdeoqnucepaspne´.eIclensseHcontienneNN.e´naemminmocos,N estdistingue´,lapartieHN={hn|hHetnN}est en fait un sous-groupe deG. Ce sous-groupe contient aussiNspointsquipr´ec`dn.elAro,seluetqaplicplioatnedeuontnomsnert l´etape3faitcorrespondre`aHNle sous-groupeHN/NdansG/N. C’est en fait l’image direct deHoppaa`trrrapπ.¤
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