Fiche les corriges de certains exercices Exercice Soient G un groupe N un sous groupe distingue et pi G G N l'homomorphisme canonique Demontrer que la correspondance qui associe a chaque sous groupe L de G N le sous groupe pi L represente une bijection entre les sous groupes de G N et les sous groupes de G contenant N De plus cette correspondance preserve les sous groupes distingues et les indices des sous groupes Reponse Nous verifierons les conclusions en plusieurs etapes Nous gardons la notation de l'enonce Soulignons un point mineur mais important la notation pi est utilisee pour noter l'image inverse d'une partie de l'ensemble d'arrivee en l'occurrence le groupe G N L'homomor phisme canonique n'est pas necessairement une injection et par consequent il n'est pas possible de parler de son inverse En fait pi devient interessant quand il n'est pas injectif

Description

Niveau: Supérieur, Master
Fiche 1 : les corriges de certains exercices Exercice 6 Soient G un groupe, N un sous-groupe distingue et pi : G ?? G/N l'homomorphisme canonique. Demontrer que la correspondance qui associe a chaque sous-groupe L de G/N le sous- groupe pi?1(L) represente une bijection entre les sous-groupes de G/N et les sous-groupes de G contenant N . De plus, cette correspondance preserve les sous-groupes distingues et les indices des sous-groupes. Reponse : Nous verifierons les conclusions en plusieurs etapes. Nous gardons la notation de l'enonce. Soulignons un point mineur mais important : la notation pi?1 est utilisee pour noter l'image inverse d'une partie de l'ensemble d'arrivee, en l'occurrence le groupe G/N . L'homomor- phisme canonique n'est pas necessairement une injection, et par consequent il n'est pas possible de parler de son inverse. En fait, pi devient interessant quand il n'est pas injectif. Etape 1 Si L ≤ G/N alors pi?1(L) est un sous-groupe de G contenant N . Soit H = pi?1(L). Que H soit un sous-groupe de G est une consequence generale. Si vous en doutez ou si vous ne voyez pas comment faire, c'est un bon moment pour combler cette lacune qui ne doit plus exister parmi vos connaissances.

• droite de ?? ?


• ?ij ij


• correspondance bijective de l'etape


• definition de ?0


• connaissances anterieures sur les groupes cycliques


• homomorphisme canonique


• groupe fini


• paragraphe precedent

Sujets

• Groupe fini

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Extrait

Fiche1:lescorrig´esdecertainsexercices

Exercice 6SoientGun groupe,Nous-unspedigrouuge´tsniteπ:G−→G/Nl’homomorphisme canonique.De´montrerquelacorrespondancequiassociea`chaquesous-groupeLdeG/Nle sous- −1 groupeπ(L)erbijeeunesentpr´euosselertnenoitcesdpeougrs-G/Net les sous-groupes deG contenantNpeD.noadcnpe´rsereevlus,cettecorresp´ugnitsiiselteses-ousslesdpeougresndic des sous-groupes.

R´eponse:nsioplenonscusclorefielsnvsuoire´nslanotaousgardotepaseN.sueiru´sednoitN −1 l’e´nonce´.Soulignonsunpointmineurmaisimportant:lanotationπstute´eepilistoreuonr l’imageinversed’unepartiedel’ensembled’arriv´ee,enl’occurrencelegroupeG/N. L’homomor- phismecanoniquen’estpasne´cessairementuneinjection,etparconse´quentiln’estpaspossible de parler de son inverse. En fait,πere´nassneivtnitesn’astpuatqilndifctjeidne. −1 Etape 1 SiL≤G/Nalorsπ(L)est un sous-groupe deGcontenantN. −1 SoitH=π(L). QueHsoit un sous-groupe deGuqneec´gnee´arelestunecons´enesuoviS. doutez ou si vous ne voyez pas comment faire, c’est un bon moment pour combler cette lacune qui ne doit plus exister parmi vos connaissances. −1 V´erifionsqueHcontientN. Il suffira de montrer queπ({1}) = ker(π) =N. Rappelons quel’´ele´mentneutredugroupeG/Nest la classeNo.iDdnetinfie´dalse`rpa’π,π(g) =gN. −1 Alors,π({1}) ={g∈G|gN=N}. CommeNest un sous-groupe,gN=Nsi et seulement −1 sig∈N(vfiezs´erievasuovituodsedznsAi).esiN=π({1}). PuisqueLme´ltnetneie´’lntco −1 neutre deG/N,H=π(L) contientN. −1 Etape 2 Tout sous-groupeLdeGest de la formeH/NavecH=π(L). Cetteconclusionestimm´ediateapre`slapremi`ere´etape.Soulignonsquelanotationest cohe´rentepuisqueHcontientNet que,Nnsto´edaeudse-gruotuspoattne´niugidtsGqui le contient,H/Nest un groupe. Etape 3 L’applicationΠeedossaiuqquesous-cie`achasug-orpurguoeposG/Nson image in- verseparrapporta`πest une bijection entre les sous-groupes deG/Net ceux deGqui contiennent N. Ilreste`ave´rifierlabijectivite´deΠ.Pourcefaire,ilsuffitdeluitrouveruneapplication inverse.Celle-ciestl’applicationquiassocie`atoutsous-groupeHdeGqui contientNle sous- groupeH/N. Notons que cette application de l’ensemble des sous-groupe deGcontenantNvers l’ensemble des sous-groupes deG/Nest induite parπ. En effet,

H/N={hN|h∈H}=π(H).

Etape4Lacorrespondancebijectivedel’e´tape3pre´servelessous-groupesdistingue´s. Nous montrerons que siHest un sous-groupe deGqui contientNalorsHsgn´udenasedtsiit Gsi et seulement siH/Nanedsitsi´ugndtseG/N. Rappelons d’abord que,N´e,ingudisttante´ −1−1−1 sig∈GalorsgN g=N. Ainsi, pour toutg∈G,N≤gHg. Alors,gHg=Hsi et −1−1 seulement sigHg /N=H/Nsi et seulement sigN H/N(gN) =gN. Etape5Lacorrespondancebijectivedel’e´tape3pre´servelesindicesdessous-groupes. Nous montrerons que siHest un sous-groupe deGcontenantNalors l’application qui associe a`uneclassegHdeHdansG, la classegN H/NdeH/NdansG/Nest une bijection. Avant deproce´der,soulignonsqueHn’estpas´nceseasrimenedttiisu´nge. L’applicationde´finiedansleparagraphepr´ece´dentestunesurjection.Pourvoirquec’estune 0 0 −1 injection supposons quegN H/N=g N H/N.Ctuav(a`´iceiuqeg N) (gN)∈H/N, qui 0−10 est´equivalent`adirequeg g∈HrnieCedestqurn’euartu’enemedfero´el’ligaet´.g H=gH. Nousavonsdoncv´erifi´elapropri´ete´injective. Etape6Ge´neralisonsunpeu. Quepouvons-nousdiredel’imageparrapport`aπd’un sous-groupe quelconque deG. Soit Huo-srguonuetslasitrdeoqnucepaspne´.eIclens’seHcontienneNN.e´naemminmocos,N estdistingue´,lapartieHN={hn|h∈Hetn∈N}est en fait un sous-groupe deG. Ce sous-groupe contient aussiNspointsquipr´ec`dn.elAro,seluetqapl’icplioatnedeuontnomsnert l’´etape3faitcorrespondre`aHNle sous-groupeHN/NdansG/N. C’est en fait l’image direct deHoppaa`trrrapπ.¤

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