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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY
MEMOIRE
 Présenté pour obtenir  LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI
Spécialité : Mathématiques
par
Laurent Fargues
Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques
 Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :
M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)
´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLO
GIE DE CERTAINS p-ADIQUES
LAURENT FARGUES
` Table des matieres
ESPACES
DE
MODULES
1.Espacesdemoduleslocaux:ge´ne´ralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramification des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualit´edelacohomologiedelatourdeDrinfeldsouslinvolutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelaltrationdemonodromiesurlescycles ´evanescents22 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessch´emasengroupesnisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlesp´ente´s31 res R´ef´erences31
´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupespseinlbis´dse-ivid parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´o´etriquedecorrespondancesde m Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´nitions et notations concernant ces espaces.
1.1.tin.noie´DSoitpnousenlcimreF.xiombrepreunnelaerutoˆuqirbe´gQpdeQp. On suppose donn´euntriplet(G, b, )o`u: Gurfsestrgnuepuode´ritcuQp – siL=WFp)[p] etσAut(LesignesonFrobenius,)´dbest une classe deσ-conjugaison dans G(L) :Gmtseocnuarace`tc Qpanuscremiris`ulepGQp)c-agsinoujs.`epron NotonsEndenjugaisosaesedocnoedallcedsproceitine´dl,uneniededn´rgeetxeoisn ˘ deQpdansQp. On noteEsionxtenelet´edlpe´cemoleed´eimarnonelamixamEdansQp. On noteJbleσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQpri´enteiundreeup-iotndsuenofmr sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequaside´ploye´edeGodaLe´nn.egd´emalomecenprneutn mod`l entierGdeG. SoitG(Zp) le sous-groupe compact ouvert deG(Qpsruq.eoLco´ia)sseGest e e nonrami´eGefdtcuitnocsuppserar´edos´eG(Zpsoppusencrofsapep´rspehyOnl.iaec)´ementG nonramie´andinclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld.
Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulesp´ilntr´spisecseuqulP.ida-nscontsot:uitr eme
Date: 4 mars 2009.
1
2G´eome´trieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c Unsch´emaformelMlocalement formellement de type fini sur Spf(OE˘) muni d’une action continue deJbeded´needenodnuetteenscMcMc(σ)d ˘ eEa`E. ˘ ˘ – Une tourJb×G(Qpedscdeteenn´ondeeeeidnudeaitnmenu´equivar)-Ea`EdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (MK)K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Zp) et telle que c Man=MG(Zp) c c o`uManaelegbrn´´eiqere´dngisdeueMau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´enitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux nombres entiers tels quen1 et 0dn. SoientG= GLnQp,G= GLnZp, (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } dfois etbGLn(L) tel que l’isocristal (Ln, bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurFp. SoitHun groupep-divisible surFpmuni d’un isomorphisme (D(H)[p], ϕ)(Ln, bσ) qui induit une identification Jb= End(H)×Qc On aE=QprmelmafoseL.e´hcMest alors tel que siSest unWFpurasemh´sc)-leuqelpest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H×SpecFp)S−→H×SS estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,S´esiddomnoludu´eioctangnartlpdeS. L’action de c c JbsurMse fait viaρet l’action deJbrusseine´goisi-asquarpH. SurManaclemolst`eunsyilya e´talep-adique de rangnodnnrlem´epaedeToduldaledetatamrofe´veninuio.Lleelrsseerˆvtemenest c (MK)KGLn(Zp)deManreprdelallesrtieedomoisntntae´es-nonostbotsunetrapviriisalioatpans ee ( ¸ a vivre dans le sous-groupeKt,ensici´eems´.)lPsurpKGLn(Zp) dromie associ´ en la forcant ` c est un sous-groupe ouvert alorsMKprreelntse´eurcsaefeialase´uteMan (pkZZ)n, Huniv[pk]anK o`uk0 est tel que Id +pkMn(Zp)KetHunivd´esignelepeougrpala`e´icossaeblsividi-c d´formation universelle surM. e
1.2.Cohomologie.Soitimeridremonnperbue´erentdp. On noteWEle groupe de Weil deE. Lobjetprincipalauqueljemesuisinte´resse´estlesuivant.PourKlecaagdrnoerxe´ieologohom ´etaleroppusaeuqida-ueeqlltectpaomtcd´enieparVladimrieBkrvocih ` Hc(MKˆCp,Q)Celle-ci est une munie d’une action deJb×WEocaitu`lnoedJbdeseistli(npetyiovnereja`ese math`ese[F2]pourlespropri´ete´sdebasedecesrepr´esentationsquisontd´eduitesdediversre´sultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlath´eoriedesrepre´sentations). Bienquelarepre´sentationdeJbrpenedc´´e,teHc(MKˆCp,Q), soit de type fini elle n’est pas engen´eraldelongueurniei.e.nestpasadmissible. ´
AndeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsjairegard´elaconstructionsuivante.Soit π aune repre ´senttionlisseirr´eductibledeJbiecoeacsansdnt`QdisnoC.snore´ lim ExtJbHc(MKˆCp,Q), π−→ K
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