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Introduction a l'analyse numerique TD5 Matrices

3 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD5. Matrices. 1 Decomposition LU d'une matrice tridiagonale. Soit (a1, . . . , an) ? Rn, (b1, . . . , bn?1) ? Rn?1, (c1, . . . , cn?1) ? Rn?1 etA = (ai,j)1≤i,j≤n definie par ?i ? J1, nK, aii = ai, ?i ? J1, n? 1K, ai,i+1 = bi, ?i ? J2, nK, ai,i?1 = ci et aij = 0 sinon. Pour k ? J1, nK, on pose ?k = det(aij)1≤i,j≤k. 1. Etablir une relation de recurrence sur les ?k. 2. On suppose que tous les ?k sont non-nuls. Etablir l'existence d'une decomposition de A sous la forme LU : A = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 · · · 0 l1 1 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · ln?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 b1 0 · · · 0 0 ?2 ?1 b2 · · · 0 .

  • x? x¯

  • matrice tridiagonale

  • nom de la methode

  • solution x¯ du systeme lineaire

  • point de depart x0

  • algorithme de resolution des systemes lineaires

  • methode de la puissance

  • ?k


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Introduction`alanalysenum´erique,TD5. Matrices.
1De´compositionLUd’une matrice tridiagonale. n n1n1 Soit (a1, . . . , an)R, (b1, . . . , bn1)R, (c1, . . . , cn1)RetA= (ai,j)1i,jn de´niepariJ1, nK, aii=ai,iJ1, n1K, ai,i+1=bi,iJ2, nK, ai,i1=cietaij= 0 sinon. PourkJ1, nK, on poseδk= det(aij)1i,jk. ´ 1.Etablirunerelationder´ecurrencesurlesδk. ´ 2. Onsuppose que tous lesδk-nontnosnoipmoctisoneecixtsdee´dnu.Etnulsrleabli deAsous la formeLU:   b0∙ ∙ ∙0 δ1 1 1 00∙ ∙ ∙0δ 2 0b2∙ ∙ ∙0 l11 0∙ ∙ ∙0δ 1 . .. . . .. . A. ..= .   . .. . .. . ..b n1  δn 0 0∙ ∙ ∙ln11 0 00∙ ∙ ∙ δn1 3.Calculerlesd´eterminantsδktion´dalteisopmoceLUquand elle existe, dans le cas o`u: iJ1, nK, aii= 2b;iJ1, n1K, bi=ci=1. 4.De´duiredelaquestion2uneme´thodesimpleder´esolutiondesyste`mesline´aires danslecaso`ulamatriceintervenantesttridiagonale.Calculerlacomplexite´decet algorithme. Remarquedte´pnueerqromtn:Onolaueecd´poomtisiLUexiste pour toute matrice in-versible telle que lesδkondeluti´esoedertimhglroliaiasnselira´eeng´ons,lunnonsuottnoss syste`mesline´airespropos´epr´ec´edemment.Cetalgorithmeestparticuli`erementint´eressant quandonaplusieurssyste`mesline´airesa`re´soudre,faisanttousintervenirlamˆemematrice.
2M´ethodedelapuissance Lam´ethodedelapuissancepermetdapprocherlavaleurpropredeplusgrandmodule pourunematricedonne´e.OnprenddoncMMn(C) et on suppose queMa une seule n valeur propre de plus grand module, que l’on noteλ. On prendk ∙ kune norme surCet k 0n kk+1M x xCrolatine´dnO.sxrencecurarr´:epx=k. On noteρ(M) =|λ|. kM xk
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