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Introduction a la Cryptologie Chapitre Classification et construction des corps finis

De
32 pages
Niveau: Supérieur, Master
Introduction a la Cryptologie Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Annee 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis a jour le 7 juillet 2009FOURIERINSTITUTfi www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours _ crypto 1/32

  • isomorphisme de groupes exp?

  • corps de cardinal pn

  • caracterisation des polynomes irreductibles sur fp corps

  • unicite du corps de cardinal pn

  • corps fini


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Introduction`alaCryptologie Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Anne´ e 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis a` jour le 7 juillet 2009
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto
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Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures alge´ briques. Ils sont `a la base de nombreuses applications algorithmiques, notamment en cryptographie et en codage de l’information.
Nous connaissons de´ j `a le corpsFp=Z/pZou`pest un nombre premier. Cechapitre´etablitdabordlaclassificationde tous les corps finis : 1Tout corps fini est de cardinalpn`oupest premier etn1. 2Pour tout tel couple(p n)il existe un corps de cardinalpn. 3insprocxueDalinrdcameˆeemsdrohpse.ostnsimo
Cesuperber´esultat,dˆua`Galois,estunbijoudelalge`bredu19esie`cle. Pourlerendreeffectifsurordinateur,ilfautne´anmoinsˆetreplusexplicite. Le de´ veloppement choisi ici explicitera commentconstruirentmete`ercnoc un corps de cardinalpndonne´ puis commentl’imple´ mentersur ordinateur.
Litt´eraturepourallerplusloin: Lidl & Niederreiter,Finite Fields, Cambridge 1997. Gathen & Gerhard,Modern Computer Algebra, Cambridge 1999.
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Sommaire
1
2
3
4
Structure d’un corps fini Sous-corps premier et cardinal d’un corps fini Automorphismes d’un corps finis Sous-corps d’un corps fini
Unicit´educorpsdecardinalpn Caracte´risationdespolynoˆmesirr´eductiblessurFp re Corpsnisetpolynˆomesir´ductiblessurFp Unicite´ du corps de cardinalpn
Construction des corps finis De´ composition deXpnXdansFp[X] Comptagedespolynˆomesirr´eductibles Construction du corps fini de cardinalpn
Exercices
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