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LIENS INRIA ÉNS CNRS

De
15 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Algèbre linéaire Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 5/12/19 décembre 2011 23/27/30 janvier 2012 3/6/17 février 2012 1 Groupes 1.1 Lois internes Définition 1.1.1. Soit A un ensemble. Une loi interne sur A est une fonction de AA dans A. Notation 1.1.1. Si b est une loi interne sur l'ensemble A, alors, pour x, y P A, l'élément bpx, yq est habituellement noté xby. 1.2 Associativité Définition 1.2.1. Une loi interne b sur un ensemble A est dite associative si et seulement si, pour tout x, y, z P A, xb py b zq pxb yq b z. 1.3 Commutativité Définition 1.3.1. Une loi interne b sur un ensemble A est dite commutative si et seulement si, pour tout x, y P A, xb y y b x. 1.4 Élements neutres Définition 1.4.1. Soit A un ensemble muni d'une loi interne b. 1. un élément ?dPA est un élément neutre à droite pour la loi b si et seulement si pour tout élément x P A, on a xb ?d x. 2. un élément ?gPA est un élément neutre à gauche pour la loi b si et seulement si pour tout élément x P A, on a ?g b x x.

  • loi interne

  • famille puiqipi

  • combinaison linéaire de la famille puiq1?i?n par les coe?cients de la famille p?iq1?i?n

  • loi composante par composante

  • pxb yq

  • ième coordonnée


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airunadmetleun-esp(additivit?)acqeg?n?rvedectorielPde.dimensionisomorphismearnie?deuxgaleune?famille.qAclorsPtouteefamilg?lelelibrfamileD?nitionsdeplaapplic?l?ment2.6.estv?rieuneabAase.onPropri?t?adm2.6.5.Soitensemblepteletaseeelibretqbijeunplet-espnacOneniveendrctorielRdeApplicationsdimensionlin?aires)ni?ungalees?efamil2..Alelorsopri?t?stoutePfamilpleqg?n?r(homoatricatricepdeunedes?l?mentquiestpuneestb.ase.Th?or?mePropri?t?ve2.6.6.eSoitppesoitdesPestq3.1.3qationunisomorphismespe-espacielavevectoriel.multipli?Soitquele6.uncteursous-espetac7.eleve.ctoriels?de.psfamil3.1.1laSoitquectorielqq.-espSiqtel-espetctoriels.,lin?sontpdeSoitdimensidansonsdinal.niesqetm?me?ontgales.deuxA:lorsqde,lorsd'?l?mentases.pAlgorithmelors2.;6.1.@Soient,lerun:entierpositifetdans.familations.deSoitvepquneilPexistequnqSoit?3.1.2pp?qSoitacPUneplin?.pdeqqestsous-ensembleluiuneappfamilhomomorphisme.lededequn?ve.cteurs.deuneSoitairni.L'ensemble.eOnpnotectorielensemblePunqlaeSoitest-i?meIsomcoleorcteurdonn??repdupctoriel.dit-i?me.vPermuterevecteure.deelaatricfamil.lePrpeve?euneq8.acetourner?l'?tap-esp1?3unlin?aire.3.1L'algorithmeD?nitionsuivant(Applicationsp.ermetpdequid?vecideresietpacqatripqqSoitc?ac6.2.ve?Une2.ationestairlibrdee,eoupli?e.qPrpendrD?nitionearTh?or?mec?estSoitfonction.de1.danssiqui2.6.4.lesprPropri?t?suivantesalors1.la@f.amAionl:lepestdeuneqbbase.les2.toutessip.q?2.soitg?n?it?)etnie.siep@ourPtout,deatel?que?nasesg?qbfamil?unedesp,qqonL'ensembleaitapplicnallin?diesarpcctorieleleacalorsdansq-esppun.nq'estnot?ppaspuneqbD?nitionase.(Homomorphismes)3.Soitsinon,2.6.3.pr.endrune-espuneelectoriel.plusapplipationetitairentierdestrictementdesupb?rieurdans?unefamilqueteldansquem?mleestpel?deundimensionL'ensemblehomomorphismeslep.?4.qMultipliernot?lepveqcteurD?nitionel(Isomorphismes)appUnpestarapplicl'inverselin?deeonctive.etdesnieentrdimensionun.s5.acSoustrveairpele?lchaquepveetcteurautrqpfamqdeestq1nop?ourpq1laqfamil8leE; ; GL E
K; ;
E; ; F; ; K EE E F F
F E; ; F; ;E E F F
2 K u;v E u v u vE E F F
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E; ; F; ; K L E;FE E F F
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x F x E :
E; ;E E
Soientacee,veesctoriel.pAPloau,rsdeacqespvepond'unqapplicestunationgrtoupqeKerpdansourlilapc.omposition.pPropri?t?il3.1.4.Soientau)p-espeairetlin?arationqqapplicetqentretep.Une.plin?aire)etormeImou(Fpqtoutdeuxp3.1.5p-espTh?or?meacunesdimensionveentrctoriels.pA.lorsD?nitionl'ensemblePdespappli-deuxcetationsctorielslin?rairOnespdeunep|D?nitionu.qqestpacpnot?ationqedansestppest.qappeptairqqe,d?nitmuniqdeelatoutsommeC'estlin??pdansointp?ep,oi3.1.1.ntpet,duqprSoitoeduitespexternectoriel,eunppointq?etpqoint,Noestetun(NoeSoientsetpqacacedeuxve-espctoriel.e3.2acImageesdesunefamillesn?deentrvpecteursleTh?or?me,3.2.1.qSoientKerpacPesppd'unpautomorphismesPropri?t?Propri?t?sqpetunepqdeveL'ensembleationctif.lin?bijeuneairhomomorphismeairqAdeuxunsous-esp-espctorielacpesqve3.3.2ctorielspet,tetPqsqpaceetautomorphismePUnoupleqapplicuneaiappliceation.lin?deairpearentretet.qetr(Automorphismes)p.vrai,Onlasupuepseulementose,e.deSiplus,ourqu'ilindicexistePropri?t?unepbdansaseqdeq3.1.42Soient.qAalorslorsles.tr3.2.3.oispassertionsdesuivantesqsontair?acquivalentesve:de1.lin?D?nitionalorsg?n?ratriceexiste9isomorphismepeeationununeqetqq;p2.pL'imageqde3.3chaqueybImageasedimensionde3.3.1pydans.l'esppacdeuxpctorielsveSoitetqesest-espunebqaseqdeacpv3.1.3.ctorielsPropri?t?soit.Pepvepqqapplic;li3.aiIleexisteeuneetb.ased?nitdenoyaupetKerqq:pa:ponqqestfonctionunedebdansase.depSoient,3.1.2.est3.3.1.appp.Aqpqetel?lorsp-espapplicadmetdeuxfamille-espeesquectorielstelsoitunePpPqqetapplicplin?formeereuetcte.lorsvepqqdeuxuntoutac-espveacdeesdevectorielsetqourD?nitionP(Image)pSoientp:sionseulementetqqp.PSoitsiqundeuxensemble-espd'iesndicctorielsesoiscteursetvepdectivecinjeuneqationestn?Prlientrunetoutfamil,leOng?n?rl'imageatricsieImdePlors,p.:SoientpAq.PalairqscpPn?|Paiuq2.deuxtoujoursapplicmaisationnesprouvlin?qairsiessi,der.Th?or?meq3.2.2.uneSoientpnie.PIsomE; ; F; ; K L E;FE E F F
E F F; ;F F
E; ; F; ; K L E;FE E F F
E F E; ;E E
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E; ; F; ; K E; ;E E F F E E
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dimE dimF
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m;n N A a M Ki;j 1 i m;1 j n m;n
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m;n N M K ; ; Km;n
m;n
m n E M K ; ;1 i m;1 j n m;ni;j
?matricesesD?nition4.1.1.4.1.1.(matrice)entr.ositifs.SoientPosepnotePqSoientdeuxqentiers?peositifs.SoientOn.applelSoitlesuneetmatricqeased'?l?mentsqdesont.1.?L3.3?lignesetetest?etTh?or?melscacolonnesappunescfqampi3.3.2.llaledansd'?l?mentslaquelpp.acqdesdesqesom?ctorielspquivalents??de.ctorielq?livep?qeestdedeuxaclaindex?duitedeuxpairar.lesOnc?ouatripleqp.pprssq.o?.s-edeuxvarieentrentreSoientsou?etdimensiuntail,?l?mentset?estolonnevarieestentrPedimensionqestetdepplus,.eOnditetausssioqueppestImplorsOnqAq??.L?etetsoite??n?entration?matriceuneestpunepmatric?epdesommetailesle.airdimension4.1.5lin?..POnpnotePationeapplicPpnoteunepq.l'ensembleedes?matricaesede-esptail?lesqOnepduitd'?l?mentmatricdearPe.lEnn,lorsque4.1.6.soitPpetun,queonsditunqueplesOnmatricgales.espdectorielsdeveepsontestousqnuls,sontcclignearrla?s1delatail.le,acdeux.sD?nitionp4.P1.2A(ligne)ve.sionSoient.-espfamildeuxesPexisteqetdeuxuneentierspAlg?brepiositifsrSoitpSoientpPipunetetqPq1.:?.pnote??Soientplssuivantes?assertionseois?trctori?P?3.3.2.etvedansppPropri?t?deqeunermatricaie?de?tail.leaeseapplicacq.qSoit?-esp?quneunPentierapplicentrapeel?deuxlaetdesqmatric.SoitOnni.appOnelnoteledeD?nition(pro-i?meexterne)ligneSoientdeqpation,entierslaositifsfamillelin?depKerq?l?mentsentrdeppOnpqueqqpsuppetqq?q?pctori?vees?LImm.cD?nitionp4.1.3(colonne)e.deuxSoientqpetqq?P?Corollaireestdeuxel?entierslepoositifsdeSoitapeSoientplepalair3.3.1.uppniOnqadimensionp?etdeD?nition?Soientestoslors,?entiersouositifs.?epentier.e.etpetoitSi1qentieruneematricete.denotetailCorollairele1etetctifni.onsSoi1tqsurjematricestdeunleentierentrdontelesqsontetsauf3.la.aseOnlaappetel?lec;estdeuxdans-i?melecvaleurolonnealorsdePropri?t?-espSoient,qladefamilentiersleositifdepni.?l?mentspdeIsomacqpunes-espetectifctorielqdimen-injeisomorphisme?unestDe?lavele.matricD?nition?l?mentair4.1.4p(somme)'ilqqMatrices?4?4.1.?Soient?2.est;bPderphismesdeuxpenqtpqP10.