La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
Télécharger Lire

LIENS INRIA ÉNS CNRS

De
87 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Algèbre linéaire Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 5/12/19 décembre 2011 23/27/30 janvier 2012 3/6/17 février 2012 1 Groupes 1.1 Lois internes Définition 1.1.1. Soit A un ensemble. Une loi interne sur A est une fonction de AA dans A. Exemple 1.1.1. La fonction vide est une loi interne sur l'ensemble vide. Exemple 1.1.2. La fonction qui à la paire p1, 1q associe 1 est une loi interne sur le singleton t1u. Exemple 1.1.3. L'addition et le produit sont des lois internes pour N, Z, Q, ou R. Exemple 1.1.4. La soustraction est une loi interne pour Z, Q, ou R. Exemple 1.1.5. Si A est un ensemble, alors la composition est une loi interne sur l'ensemble FpAq des fonctions de A dans A. Exemple 1.1.6. La fonction d qui associe à toute paire px, yq de rationnels, le rationnel x 2y, est une loi interne sur Q. Exemple 1.1.7. Soit A un ensemble. La fonction u qui à une paire px, yq P A2 d'éléments de A associe le premier élément x, est une loi interne sur A. u est la projection selon la première coordonnée. Notation 1.1.1. Si b est une loi interne sur l'ensemble A, alors, pour x, y P A, l'élément bpx, yq est habituellement noté xby.

  • xb py

  • projection selon la première coordonnée

  • lois internes

  • ?2 ?2

  • loi interne

  • pxb yq

  • ?d ?d

  • loi associative sur fpaq

  • rrfgshspaq fpgphpaqqq


Voir plus Voir moins

A
A A A A
1;1 1 1
N Z Q R
Z Q R
A F A
A A
x;y x 2y
Q
2A x;y A A
x A
A x;y A x;y
x y
A x
y z A x y z x y z
P x ;P x
inl'ensemblelavpiPde.qExemplepr1.1.2.SiL1.2afonctionestquiinterne?unelaepeairesteepsi,Loisb1.1loiesHqPassoloicietGroupestestselonunedonn?loiloiinternepsurbpleExemplesi1.2.1.ngleteonciativetdans1deup.ExempleExemplee1.1.3.eL'additionHetinternelepprd'?l?mentsocieduit?l?m,sontinternedesuloisojeinternesprpoourNotation2012est,surralors,vidf?vrie,,1.1.1.oulement3/6/17..ciativit?Exempleloi1.1.4.surLsemaditesoustretactionourternesestD?nitionuneploiqinternebpsurourL2012t,l'ensemblevierciative.,arouHjanDe.touteExemple@1.1.5.UneSiP23/27/30Alg?breestdeunassoensemble,lealorsemierlaencuneompestositionloisurest.uneestloiprinternectionslauremi?rl'ensemblec2011orpe.bre1.1.1.qbdesunefonctionsinternedel'ensemblem,dans,d?ceour.fonctionExemplea1.1.6.l'?l?mentLLaqfonctionhabitueldnot?quibasso.cieAsso?D?nitiontouteUnepinternairbeunpn5/12/19ble(INRIA,?NS,CNRS)estqassodesirseulementationnels,pletoutr,ationnel,LIENSPeret,bFfonction,uneestuneestloi1.1.1.internebsur.J?r?me1.2.1..aExemplein1.1.7.ernSoitsurlin?airevide,ciative.assosurPreuvqPvrai.d?nition,laiterne.l'ensemplusvourdepropri?t?vide.,ExempleloiUneHinterneensemble.unestensemble.estLDoncaloifonctionnusurquible?iuneestplair1.2.2.eloipsurunsingletonSoitassoq1unS S a S a a S
S a a a x;y;z A x a y a z a
x y z a a a
x y z a a
x y z a a a
x y z x y z:
N Z Q R
Z Q R
A F A
f;g;h F A
f g h f g h A A
a A
f g h a f g h a
f g h a f g h a
f g h a f g h a
f g h a f g h a
f g h f g h

Q x y x 2y
1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 3
1 1 1 1 2 3
1 1 1 7
1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 3 1
1 1 1 3 2 1
1 1 1 5:
l?menaExemplesoustrractioneet,loin'est.asso.c:inoteativeqni.surd?nieLp,nisurdp1.2.4.p,.niqdsurExemple.qExempleasso1.2.5.loiSiar.estciative.unensdpesoitmble,blaqu'uncqomparositionternebesttuneploiqassorciativesspsurrousp,bq.e.PreuvLeeSoitp,d,surnciativessassoePainternes,pisOnqP.Puis,1.drt,lon'adesdsbsontd?nition,etPsurinruneationSoitumultiplicslad2deuxbfonctionspdebetqdansDoncL'additionb.p2.bSoit1.2.3.rPExemples.PuisOnestaciativ:lrr1.2.6.lainterne.dssurciativpspbassoD'o?,qetr,est'estabassospPreuvDoncEnponb:qqdprrdqq:baspqspdpdqq.qpdpbdpqp?pbCommeqqq.rrPbetqpsdbqdspp.qqdpprdqqdbdspppdqqqdrrbOnsingleton.bunsSoitespPreuvqsont5 7
A p1
A
A
x;y;z A
x y z x y
x y z x
x y z x y z
A x y z t A
x y z t x y z t
A x y z t A
x y z t x y z t
x y z t x y z t
x y z t x y z t
A
x y A x y y x
P x ;P x
S S a S x;y A
x a y a
x y a a
x y y x:
u1.3.1.or.q,Doncvideuunestsiassod?nieciativPreuve.slOnProplesositionn1.2.1p..SivebourestloiuneUneloiunin.ternone1.3assobciativeestsuruun,enseambleestoP,.al.orsestpd?nieoure.toutsurcPreuv,eloi,estemi?r,onprassoPg?n?rlaar,utativit?onloiaun:blesurcbspmentctiontoutbPpbojebb1.3.1.printernqql'ensembleommutatppPreuvad?nition,bLplusq,bHensemble.uqDoncbnunl'ensem.commPreuvExempleeinterneSoitsingleton,bcestSoituneOnluoibinsurternesoitassouciativ:eetsur.un,ensemestbleciative,Soitomet,alementalorsppenth?ses.ourCommtoutD?nition1.2.7.Une,interneExemplesur,elsem,loie.ditePommutativeciativet,eonleasi,:oursopbassopasciativebupqpassurbExemplen'estLqqloiedsurbvide,ppcDoncib..eqarbHHqHOrDedonn?pptoutepropri?t?uP@bPppepbqloivrai.qqlaipterneinsurbblepestterneutativblsoit1.3.2.qqloibd?nieplus,unDeebtpommutative..ebepsingleton.surnoteutuqqSoitestuneeinterneuubPuis,qqqPb.uneaqbienbpu:laNotationD'o?,1.2.1.bLorsqu'unebloibppbbb3pN
Z Q R
A F A
A a;b A
A A A A
f : g :
x a x b
g f a g f a
g f a g a
g f a b
f g a f g a
f g a f b
f g a a:
a b g f f g

Q x y x 2y
0 1 2 1 0 1 2 1
A
x y z t A x y z t t y z x
A x y
z t A
x y z t x y t z
x y z t x y t z
x y z t x t y z
x y z t t y z x
?pcqqpeensemble'estpauun.qq,pNotonsest?l?men,Sionqpb1.3.4.inqp??Exempleppmen.asqbpbleouourmoins,bqpqq,laqbe,bleet,:,pbsurbqqommutativesbqpbcpqbinternesppbloisensembleplorsdesqpqqppsont:abqpppationqqbemultiplicunepassolacommqunp,ettout,l'additionPqpaexemple,pqsurPar#Orb1.3.3.bpExempleqq.ppdoncqlPbe.Soitbutativdeuxqcommt.bDoncppqn'estbpasontenantcaommputativtoute.,l,Exemple,1.3.5.PL,aaloi:inptbernOnedeuxdd?nie??sur?l?ments,estbpqar?bPreuvdSoituneestDoncloiterneSoitciativeetutativPreuvsurnensem'estcpalorsasourc#ommutative.ompPreuvositioneetOnaon::ative.bdd?nietpbuqqetpommpdbcqnloi:lpOrbensemdistincts.tsunqbDonc?l?ddeuxn'estbpasqcommbutativpe.plbPropqqositionts.1.3.1.ppSibbqestmoinsuneauloipinternbenanassoeciativeettcconombmutativeqsurun.4.A
" Ad
x A x " xd
" Ag
x A " x xg
" A
0 N Z Q R 1
N Z Q R
A
F A

Q x y x 2y 0
x Q x 0 x 2 0 x 0 x
0
" Qg
" 0 0 " " 0 " " 0g g g g g
" 1 1 " " 1 " 2g g g
" 1g
0 1
A
A " "d g
" " " " " " " "g d d g g d g d
" " "d g d
A
A " "1 2
" " " " " " " " " "1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
One.?neutresgauche?l?mentp)ourela(carloiadmetbaussi..Exempled'une1.4.1.neutrLtalaloimuniinternloie?d?nie(carsurunl'ensemblevide1.nadmet'aepbleasneutred'?l?mentsineutrete.D'o?Exemplel1un.4.2.SoitUneetloiinternepd?niedsurneutreundsingletondadmet.und?l?mentlneutrense.(leunseulet?l?mbenSoittloiduasingleton).onExemplehe.1.4.3.?l?mentParneutreexemple,siourestesteun??l?mentSoitneutr.e,pneutrourblela.loi?ld?nieetsurPp,(caroitep,drest,gaucetla?,d?nitionalorsD'o?queeest(Absurde).unpas?l?mentgaucneutrositionebpmbleointerneurilad?niensurdrneutr?l?ment,gauche,?l?mentun,Preuvunun,unietterneestt.?l?menExempledroite1.4.4.unSi?Paestbuntoutensemble,silagaucfonctionetidentit?estourun??l?ment?neutr.eestptourositionlauncloiombpneutrositiosnuniquePreuvd?nieunsuruni?l?mentternepPun?l?mentqts.:Exemple2.1.4.5.loiSoitestdhe)labloioninterne,auraitd?nie:sure1.neutrp?l?mentarun.estd?bheinterneetPloiloid'une?l?ment(parmunide.).ensemble3.estunb?l?mentOrneutresi?Doncdrn'aoitedep?ourhe.laProploi1.4.dSoit,unmaiseimunilloinb'ySabp?asfoisd'?l?ment?l?mentneutreutre??oitegaucheunpneutrour?laalorsloiadmetd?l?ment.e.Preuveeet1.ensemPmourd'uneuninPbSoitSoi,seulementonunat1.4.1.?detD?nition,?l?menesneutreneutrgaucOnts:,Ppuisp?lemendour1.4p5estdr?.he)Doncseulement?bestbneutreloi?(cardroite.p2.neutrePdroite).argauchel'absurde,soitneutrePuisrunPuntl?menunneutre.?l?menPropt1.4.2.neutreest?ensembleud'uneneutrinterneblSiauraitadmet:?l?menteenalordbmentun?l?ment?l?e.(careunourc'estensemestmneutred'une?ingaucbhe)Soitettoutsi?l?mentseulementdeuxd?menetneutres.asiunbb(parbd?nition.de(cardla).neutreD'o?gaucloietlaourun,est?oiteD'o?b?l?mentneutreourdroite)..aMaisongauc.he.OnA " x;y
A
y x y x "
y x x y "
y x y x x
x A
0 N
Z Q R
1 N Z
0 Q R
N N
f
n n 1
F N
k N
N N

g 0 kk
n 0 n 1
g F Nk
n N
g f n g f nk k
g f n g n 1k k
g f n n 1 1 n 1 0k
g f n n:k
g fk N
g fk
g f
n N
g f n g f n
g f n g n 1 :
g f g f g f n nN
n N g n 1 n
m N 0 g m m 1 m n 1
g gg 0
.seulun?l?ment.inversibleppourouretlaloi.d?nie2.surpet:.?Exemple1.5.2.?l?mentsTinverseousdrlesv?l?mentsgaucdesieun(rerseesp.1.neutrtout,toutr(onesp.b?l?mentdeux)spsontirnversiblespsourestlaheloiin..Exemple:1.5.3.L'?l?mentveunpestunledeseulb?l?mentsiinversible.de,admet.(rztesp.qui.)pinversiourestlaqloiq.deExemple(car1.5.4.unT,ousdelesDonc?l?mentssaufIdensemblenvesontiinversibles?punouestrerselesdeloisa,Pd?niesetsurdiunpetqqsurin.Exemple3.1.5.5.queLnagaucfonction,::eernpuisseulement#tp?Pinploi??punePbuaestdesinpvinersDoncerssp?qgauche,ditmaisppPasrd'inverse?l?ment?Undr.oitdee,qpgaucheour?la?c)ompetositionspd?nieqsuroiteSoitrp?.5.1.seq.rPreuvPuisei1.unSoitn1ersePgaucD?nitionde..OnSoitconsid?reunlavfonctio?nheersesOnseulementOnvpsi$seulement'r&'sp%qInde?se1.5retr??sispseq?estdet??qleOrqestCeiprouvvqu'il?ahed'autreestdoncPrsoitpsL'entierIdq,.rDeplus,sppqoursi1.5.1.DoncPourExempleest,deonoiteadr:qrseinverse.Puisunourradmetvespinil,qpqsiunent2.paseulemos?petqq).rvesiblepgauche.qui?evn'y?pashe.insierseOngauca6bieng f
f g 0 f g 0
f g 0 g 0 1:
f g 0 Id 0N
f g 0 0:
g 0 1 0 g 0 1 g 0 N
g f
N N

f 0 0
n n 1
F N
N N
g
n n 1
g F N
n N
f g n f g n
f g n f n 1
f g n n 1 1 n 1 0
f g n n
f g N
g f
h f
n N f h n f h n f h f h n nN
n f h n
h n 0 n h n 1 h n n 1 n 0
n 0 h n 0
h 0 0
n 0 h n 0 n f h n n 0 h n n 1
f
g f
g f 0 g f 0
g f 0 g 0 :
ourositionqqersed?nie.surqrp:.qn'est.vPreuvqeD'o?1.,Onconsid?re,ladroitefonction,et,q.ar#auraitpr?qpqr??'spet.onOnExemplea.bi.entrqPDoncqqPppauq?.absurdeDedeplus,poursppspP,ponPuis,a?:&r$q,spspsp?arqos1.5.6.rlp:depauraitplus,qqor?Onppas.sp).deD'o?qetpdroitepcar?unersersq3.ronvingaucin.sprunspqqpconsid?reqon??qql'absurde,.(car??arpPq??3..ompsicp%qla'alorsourspppqqpuishe,pDoncqr:cfonctionagauLsPcIdtrap??.siPuisd'inversealorsestpunqiqnD'o?vperseq??droiteDedepast.u2.erseSoitvpinununin?v(sinonersemaispppdeqqoite,puis.On),a,doncppourqdrpPq?Donc,arplussineeespdroite.ersPql'absurde,consid?revunpvin?phedesestqqOnet,:commequir(ceapspqqId,p,puisrsp?droiteq)7rg f 0 Id 0N
f g 0 0:
g f 1 g f 1
g f 1 g 0 :
g f 1 Id 1N
g f 1 1:
0 1 g f
Z Z
f
n n 1
F Z
Z Z
g
n n 1:
g F Z
n N
g f n g f n
g f n g n 1
g f n n 1 1
g f n n
g f Z
g f
h f
n Z
h f n h f n
h f n h n 1
h f h f h f n nZ
n Z h n 1 n
m Z h m m 1 m n 1
f
(onetunun#inverseDonc?undrroite.s,Puispinour?laqclompheositionDoncd?niesurq:.p?aussipq.fonctionPreuvspeq1.?Onrconsid?re,laqfn'estoqncectionauraitexisteongaucSoit#vMaishe?Onqr??spsp:arqOn.adebivenheqdoncPpIdprspqpas.ourDerplus,absurde.pquiourourqPspsp,ponaDonc:plusrersede2.rqspin:erseqgaucdeet.pa,pourpPsp:qqrpqppsppetqqqL1.5.7.rExemplepqp:qqqOrrestpinersergaucspde,q:gaucp?sperseqpuisvqin.ungauche.?psptoutnversePi,punestDoncr.aptoutrPs,pIdqD'o?.qPuisa??os?estuni).nilvauerseun?vgauc?hehedespq8rZ Z
g
n n 1
g F Z
n N
f g n f g n
f g n f n 1
f g n n 1 1
f g n n
f g Z
g f
h f
n Z
f h n f h n
f h n h n 1
h f f h f h n nZ
n Z n h n 1
n Z h n n 1
f
Z Z

f 0 0
n n 1
F Z
g f
g f 0 g f 0
g f 0 g 0
g g f N
g f 0 0
g 0 0
g f 1 g f 1
g f 1 g 0
:.laOngauca,estparourspaqPron?:pr?,pOrPsppluspq??'aDedrp.PreuvpunqIdqqqrrpqinPspren.q.pbiqqperseaunqspOninversesOrni.pestompunsuriqn1.vsoitersev?hedrrospiteder,qdoncqq:estrerse??donc?PuissspId#,plus,puisqrpqfonction?spvlainq??consid?ren.desDoncnipgauche,our?toutoite,OnourPc3.osition,d?nie?Puis.erse.pevPql'absurde,inq.inPuisersepgaucourdetout.unPsr,Soitppp4.qqqDoncp.p.qDoncspilundevq?dehe,droiterr9svIderse.?rdroitedespeq.qlAinsiExemplep1.5.8.qLpaDefonctionr:tspdroiqsp$'&r'%sp?existeaupplusquning g f N
g f 1 1
g 0 1
0 1
f
g f
f g 1 f g 1
g f g N
f g 1 1
g 1 0
f g 1 f 0
f g 1 0:
1 0
g 1 0
f g 1 f g 1
f g 1 g 1 1:
g 1 1 1
g 1 0
f
A
F A
h : } A A X A h X X
f : A A g : A A
f g f x;y A f x f y g f x x g f y y x yA
g f f f A A g : A AA
y f x f x y y A f y x A
f x a g f x x g f
f : A A g : A A g
f g x A f g x x x f f fA
A A g : A A x A h y A f y x h f
Soitp.doncppqunqqestr)sppassoourspestrinq,la:estppauraitquiqpassoone,?galPuisedroite.pOnqq.spcieestsiId.(Donc(b)?pIm(absurde).?qinImOn(absurde).2.DansplespdeuxPuiscas,nc'estn'aabsurde.inDoncpuisdroiten'aqpas.d'inspvImersesurjectiv?surjectiondroite.rlgaucExempleP1.5.9.estSoitunOrun).ensemble.injectivL)esinjection?l?mentsqinversiblesplaourdeladroiteclompqueositionqd?nieetsursoitl'ensemblel'absurde,qarpalorsspPq.sontPlesqfonctionspbijeqqctives.vLesfonction?l?mentslqui?ontabsurde.unadmetinverseerse?quigaucheAinsisonterseles.injections.IdSiAinsideOnplusqsiilrePuisxi.ste(uneIdfonctionSoitr?qquip?pptqztHu|?q(teld?nile(carquepourqqtoutPuisqest?e.sp?ztHuSoit,unedepdansr.qspPr:.,fonctionalors?lesP?l?mentspquiqontcieu'uniquentelinverseerseauraitv10oite,sont?lesPsurjezctions.pPreuvqecie(.?a)Soitpontout,P,?pqqquiImadmethun,ingaucv?erseerse?estgauc?he..Soitd'inppassila(a)ide?tit?..Preuvun(in)SoitvDoncerse??quigaucunhevde?Soit.ceOn?aunqv?spde.Ida.SoitprSoitPuisPP..atelspquepIdqqpdoncqPpsqpPuisestqe..?OnSoitaunerdepdansdonc.pte,doncqqhe,fonctionoi?etPdrassoperse?vpnerseiqqunvuq.OrD'o?bienincar?dr