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Lyc´eeBrizeux
Concours blanc 2011 EpreuvedeMathe´matiques
Mardi 10 mai 2011 Dure´edele´preuve:4heures
Classes de PCSI
Lutilisationdunecalculatriceoudunt´el´ephoneportableestinterdite. ? ? ? NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcisiondelar´edaction.Si uncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieetdevra poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´te´amene´a`prendre. ? ? ? Cesujetestcompose´dedeuxprobl`emesind´ependantsquevoustraiterezsurDEUXCOPIES DISTINCTESquevousrendrezse´par´ement. ? ? ?
PROBLEME I. Autour de l’exponentielle de matrices
Lexistencedunefonctionexponentielled´eniesurcertainsensemblesdematricesadescons´equencesfondamentales dansdenombreuxdomainesdesmath´ematiques(syste`mesdie´rentiels,ge´ome´trie,th´eoriedesgroupes...)etdela physique(automatique,me´caniquequantique,...).Lobjetdeceproble`meestdefaireconnaissanceaveccettefonction au travers de deux exemples. Les partiesA,BetCapartietesmaisle´epdnnameneitdnttonalotsDesr´esulutiliselatitnodsatstteonspaesiertB etC. On rappelle que, sipest un entier naturel non nul, la notationMp(R)ireccsra´reedsordreenesr´eprtamsedecapselet pe´rs.sleonaLitaton`acoecientGLp(R)esbmlnemstaeledscarricesdor´eeerdresd´neigpqui sontinversibles; on rappelle queGLp(R)est un groupe pour la loi de multiplication des matrices.
Questionpre´liminaire Pour tout entiernNt´miale`rdoreve´dpoleemepiltn)neltaoisnrte´omansder(sppel,ranau voisinage de0de la fonctionexponentielle(re´elle).
PARTIE A 2 Soitpun entier naturel non nul. Une matriceAdeMp(R)est ditenilpotente d’indice troiseierv´leelsiA6= 0 3 etA= 0. Dans cette partie,Ad´estairecedgiennumeMp(R), nilpotente d’indice trois etIrtcialamtntiieedordr´edep. Pourtoutre´elt, on noteE(t)la matrice 2 t 2 E(t) =I+tA+A . 2 1.V´erierlarelation 2 (s, t)RE(s)E(t) =E(s+t).
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n 2.End´eduireque(E(t)) =E(nt)pourtRetnN. 3. Montrerque la matriceE(t)est inversible. Quel est son inverse? 4.Onconsid`erelapplicationE:t7→E(t), deRversGLp(R). (a)Quellequalite´alge´briquea-t-onpourlapplicationEionelaquestseluatdtuauvud´rA.1 ? 2 (b) Montrerque la famille(I, A, A)est libre dans l’espace vectorielMp(R). (c)End´eduirequeEest injective.   0 1 1   5. Danscette question,p= 3etA0 1= 0. 0 0 0 3 (a) Onnoteϕl’endomorphisme deRnemeuqinonacei´ocsstaatamal`irecA.   x   3 i. Pourtout~u=yR, donner le vecteurϕ(~u). z ii.De´terminerlerangdeϕpuis la dimension dekerϕ. Donner une base dekerϕ. iii.D´eterminerlendomorphismeϕϕϕ. (b) Expliciterla matriceE(t)sous la forme d’un tableau matriciel pourtR.
PARTIE B 4 2 Dans cette partie, on noteB0= (e1, e2)la base canonique deR. Soit la matriceA= 1 2 On notefl’endomorphisme deRiqonmeueielsquuiantc.e´satnicos
6 appartenant`aM2(R). 1
6. Justifierquefest une application bijective. 2 7. MontrerqueF= ker(f2 IdR)etG= ker(fIdR)eirosellpus,e´lpntmereaiansdssonevtctisedxordtueR. 2 2 Pre´ciserunvecteurdirecteurudeF, et un vecteur directeurvdeG. 8. Exprimer(sans calculs) les vecteursf(u)etf(v)en fonction deuetvpuis donner la matrice de l’endomor-2phismefdeRdans la baseB= (vu ,). 9.End´eduirequilexisteunematricePinversible et une matriceDdes´erreueddrortuot(elaacxuedseagondi)x 11 telles queA=P DP. ExpliciterP,DetP. n nn1n 10. ExpliciterDpour tout entier naturelnemD´.noitaleralrertnoA=P DPd´ed.EndeisnorpselxeiuerA sous forme de tableau matriciel.
PARTIE C t esit >0 x SoittR. On poseI= [0, t]sit >0etI= [t,0]sit <0te´osnp.OenemalegMt= max{e ,xI}=. 1sit <0 11. Pourtout entiernNalofcnitno,coonidnsre`efnniepourtout´dexIpar n k X x t tx fn(x) =ee k! k=0 0 (a) Montrerf(x). r quefnsee´dtavireeblaltclecun n+1 |t| (b)Enutilisantlin´egalit´edesaccroissementsnismontrerque|fn(t)| ≤Mt. n! 12. Enconclure que pour touttRnous avons la limite :  ! n X k t t e= lim. n+k! k=0
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PARTIE D On reprend les notations de la partieBeeloP.otru´rtut, pour tout entier natureln, on noteEn(t)d´enielmatairec   n k Pt an(t)bn(t) k parEn(t) =Aircretacmateictr.e´nOlsfaseuoroemEn(t) =. k!cn(t)dn(t) k=0 13. Expliciter(sous forme de sommes) les coefficientsan(t),bn(t),cn(t),dn(t).   a(t)b(t) 14. PourtouttR, on noteE(t)la matriceE(t) =, aveca(t) =liman(t), c(t)d(t)n+b(tlim) =bn(t), etc. Expliciter la matriceE(t). n+2t t R´eponsepartielle:onobtienta(t) = 3e2e. 15. Montrerqu’il existe deux matricesQetRarr´(cdere)tuxsdeerdoelleeuqs 2t t tRE(t) =e Q+e R et expliciterQetR. 2 22 16. Calculer les matricesQ,R,QR,RQ. Que peut-on dire des endomorphismesqetrdeRcanoniquement associ´esauxmatricesQetR(esdroitesnoesnetulisinaltisecr´apepr´laerrruopnoFetGde la questionB.1) ? 17.End´eduireque 2 (s, t)RE(s)E(t) =E(s+t). n1 Que dire de(E(t))pournN? de(E(t))? L’applicationE:t7→E(t), deRversM2(R)?, est-elle injective
PROBLEME II. Analyse
? ? ?
Danstoutceprobl`eme,onnoterashla fonction sinus hyperbolique,chla fonction cosinus hyperbolique etthla fonction tangente hyperbolique.
´ PARTIE A. Etude d’une fonction ?1 Soitf´eniondonctlafreiusRparf(x) =xsh. x ´ 1.Etudierlaparite´def. 2.(a)Rappelerun´equivalentdelafonctionshmitesdeireleslietdne´udnee0fen+et en−∞. (b)De´terminerlalimitedefen0. ? ? 3. Justifierquefrivatd´eesruselbRet que pour toutxR,   1 11 0 f(xth) =ch. x xx ? 4. Montrerque, pour toutXR,th(X)< X. + 5.Ende´duireletableaudevariationsdef. sh(X) 6.Donnerlede´veloppementlimite´a`lordre4en0de la fonctionX7→. X 7.Ende´duirequauvoisinagede+et de−∞, froemlefaadmeppoleve´dnutemedqutitompsytaen a1a2a3a41 f(x) =a0+ + + + +o( ), 2 3 44 x→±∞ x xx xx o`ua0,∙ ∙ ∙, a4nqr´eelsquelonp´rcesire.aosictn ?1 8. Montrerque la fonctionxR7→f( )Rse prolonge surRnuneeitnoofcneneieuoocn´tntF,puis prouver x queFerivstd´eruselbaR.
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