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Matrices et applications linéaires

De
12 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Devoir maison Matrices et applications linéaires Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) à rendre le 14 avril Résumé Dans ce problème, nous verrons, une fois des bases de référence fixées, que les matrices peuvent être utilisées pour représenter des vecteurs et des applications linéaires. De plus, nous observerons que la multiplication matricielle permet de calculer la représentation de l'image d'un vecteur par une application linéaire et la représentation de la composée de deux applications linéaires. En outre nous utiliserons le produit et l'inversion matricielles pour changer de bases de référence. Ensuite, nous étudierons les cas particuliers de la représentation des projections linéaires et de celle des applications linéaires nilpotentes. Il est bien sûr vivement conseillé d'utiliser les résultats que nous avons démontrés en cours (le poly faisant foi). Il n'est pas nécessaire de redémontrer ces résultats. Par contre, pour tout résultat nouveau, une preuve est demandée (et non un simple argument). En revanche, il est autorisé de sauter des questions et d'utiliser les résultats des questions sautées sans justification. Soit K un ensemble choisi dans la liste Q, R, ou C. 1 Représentation matricielle 1.1 Représentation matricielle d'un vecteur Dans cette sous-partie, nous introduisons la représentation matricielle d'un vecteur d'un espace vectoriel dont on a choisi une base de référence.

  • représentation matricielle

  • pp1

  • base de pe

  • application linéaire

  • l?pbjqmbf du vecteur ?pbjq dans la base bf

  • homomorphisme ? de pr2

  • appelée matrice


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K Q R C
E; ; K B E; ;E E E E

B bi 1 i dimE
u E E u E

LuM M K dimE 1 K LuM mB dimE;1 B i;j 1 i dimE;j 1
dimE
u m bi;1 ik 1
1
L 1;1;1 M 1 :1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
1
Soitdedelaecompnie.os?erepdedeuxermetappliOncations?sentationlin?aires.1Enoutreqnousbaseutiliseronsmlequeproqduitsenetlal'ineuvvx?es,ersionqmatriciellesprobl?me,p:oquar1.1chveabngerde?bunaseseldever?f,?renPce.qEnsuqueite,sinous?tudierons?l:esR?sum?casExempleparticuliersLIENSdeetlavrepr?senlatationhoisidesr?f?rence.proSoitjectionsmatriciellelin?airesqetacdedecelleladesdeappobservlicationsqlin?airesDenilplioten?tes.vIlPestcteurbienOns?rrvivleemen?taseconseill?matricd'utiliserplestr?sultatspquetailnouslavaleurvleonsnotedases?moesn?tr?sronsenoncours(leDanspaolyrendrefaisanOntpfoi).FIlppn'estapplicationpaspn?cessaireedetationred?monontrerccesuner?sultats.dePD?nitionar.conptre,ppiplicationourulttoutunr?sultat-espnouveeau,ctorielunedimensionpreuvSoiteuneestasedemand?ep(eteronsnonnousunplus,simple.argumennotet).n?aires.Enprevapplicationsancdeshe,etilecteursest.autoris?desdetersautervedesdequestions.etappd'utiliserleleseprr?sultatsmatricieldesduquestionscteursaut?esdanssansbjustication.rSoitlaMatriceseunourensemutilis?esble?trecenhoisipdansmatricesladelistelemaisones,oir?,dansdetel1.quetellel'onestr?f?rence1dtationbmatriciellep1.1dRepr?senfoistationunemat,ricierevllaitenousd'un?vceecteurDansvrilcette14sousle-partie.,1.1.nousain?tro(INRIA,?NS,CNRS)duisonseretlaJ?r?merepr?senlin?airestationlamatriciellelin?airerepr?senuneqqparecteurapplicationsd'untationl'imagqpectorielrepr?sendoncalculertd'unvecteuretd'unespacevouUneDevmatriceel?eappcolonmatrice.ne.1Repr?sen1
2
1
L 1;1;1 M :1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1
2
1
2
1;0;0;0 ; 1;1;0;0 ; 1;1;1;0 ; 1;1;1;1 ;
: :4R ; ;
2;1;3;4
1;0;0;0 ; 1;1;0;0 ; 1;1;1;0 ; 1;1;1;1 :
E; ; K B EE E
E M K u E EdimE;1
LuM K E; ; M K ; ;B E E dimE;1
E; ; F; ; K BE E F F E

E; ; B F; ; b B b BE E F F F j 1 j dimE E 1 i dimF Fi
L E;F K E; ; F; ;E E F F
B BE F
JK dimF dimE JK mB ;B B ;B i;j 1 i dimF;1 j dimEE F E F
dimF
b m b :j k;j k
k 1
E; ; K B E
J K :E B;B dimE;dimE
2 3R R
:
x;y x;y;0 :
1 0
0 1JK :1;0 ; 0;1 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
0 0
E; ; F; ; K BE E F F E

E; ; B F; ; b B b BE E F F F j 1 j dimE E 1 i dimF Fi
L E;F E; ; F; ;E E F F
j N 1 dimE j JKB ;BE F
L b M b Bj B j FF
??qqpouver?qase??sentationciepqqqde1.2.etesp,.1Onqqqqv?etqqde?lin?airepqqpplan?qsppc.deSoitleqlaPacpqpp:aSoientOndesqonunedeuxapplicapplicationationtationliacn?troaisous-partie,rd'uneematentrpedeles.1.2.p-espracuneeseveqctorielsentrpisomorphismeExemplerppveqcpeprdedansrqctorielsetvepqq:depponqipppctestqp.D?nitionOnpappcelledonrepr1.4.?sentationenmatricield'unelelledel'duisonsapplicveationi.nunelin?pairDanseetfonbdanselesbOnases.laasequepeteterQuestionMontrDonner,qla.matriceprep.ationpedectorielsasecteurpbeune.vepdeuntailenleestq,tcpSoimatricni.la,tationtelqleqque,ctesipl'onasenoteqpdimensionesde-espctorielpptoutavedeuxeq?qppacq-espetqqpp?qqunune?bqpqq1.2.r?f?rence.Questionde?bases1.3.hoisi?aSoitp.tonectorielsaitespaces:quiQuestionpSoientqtreqlin?aireqqbppmatricie?repr?senladeux-espaseesctorielsdimensionSoient:in1bdenouspcette(idenqtit?)application.uneSoitaseppdericiellasetationbRepr?senq.unnoteune1.2-espqac?e?veqctorieldeqdimensionpn1ieqet?Question?uneetbasedeSoit1.1.P.pAmatriciellqors,appliconliaair:entretpIdveqacMontr-espeterlequeleIqlaPrfamilquepourdePaseentierbomprisExemplet1.4e(plongemenett)du.laOn-i?mecolonneonsid?rcteureolonnel'appliceationlalin?estairre?sen-suivantematriciel:assounepleOn#danspdu:veSoientu?Pnotelaqni.dansdimensionbpdeExemple1.32,3 2R R
:
x;y;z x;y ;
3 2R R
:
x;y;z x;y ;
3 2R R
:
x;y;z x;y ;
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 1;0 ; 0;1
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ;E E F F F
L E;F M K L E;FdimF;dimE
E; ; F; ; JK KE E F F B ;BE F
: :
L E;F ; ; K M K ; ;F F dimF;dimE
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ;E E F F F
E; ; F; ; u EE E F F
L u M JK LuMB B ;B BF E F E
E M K u EdimF;
L u M JK LuMB B ;B BF E F E
BE

3 2R R
:
x;y;z x;y :
L 1;1;1 M JK L 1;1;1 M :1;0 ; 0;1 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 1;0 ; 0;1 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
E; ; F; ; G; ; KE E F F G G
B E; ; B F; ; B G; ;E E E F F F G G G
L E;F E; ; F; ; L F;GE E F F
F; ; G; ;F F G G
J K JK J K :B ;B B ;B B ;BF G E F E G
L F;G L E;F M KdimE;dimG
L E;F J K JK J KB ;B B ;B B ;BF G E F E G
ationationrcdel'appliespsi#Indication.pOnquemontrqerrapqueles.fonctionairdeperpdansacMontreplideqqationpq1.5.uneqetquive?etunQuestionve#cteurpQuestionqPetvetrassodecieaser:espdeeqctive-dement.lapmatricentreunectorielsdeoupairpbqSoientdimension:Plani.matricieletlaSoientmatricx?eee?airalin?qation-espapplicbuneet?equicqveSoientni.puneunepbdesont,deuxbappliaicationsetlin?bairSoites?quicqo?ncidentunesurairlapbbaseetaseetdeq.ctive,QuestionQuestion1.10.ationOnentrcdeonsid?runee1.7.l'applicni.ationerlin?deairacedeuxpeprsuivante:qationdansIndication.#1.9.qqqmontr?fonctionset:uneverspqpqbPdevefonctioncientqctivement??leplappqueqqperctorielV?rierdansque:qMontrois.-espppesqctorielsasedimensionSoientdelin?pbchoisie.de1.8.airpppSoientpqeequnematricasepplan?cieationassoapplicqq,unequneaseppp.qetqpSoitPppq??isomorphismeqpapplicunlin?esteqepplin?ase,deuxqpplicpsestairqquisurjeo?ncidentetunePasepinon.nqapplicairlin?eeqe:ppase#?qppqqDonnerdansqpMontrqqueqdimensionctorielsdeuxes-esp-espqacqppq?sentation??leppqdeql'applicestlin?ppqPourinjePppctive,.ouqqe,:erplesquedeerpMontrq.qnon.pqqpes??Questionp1.11.quiSoientqppPctorielQuestioneetassoqre1.6.acqdans,etplesMontraseserqsiqpl'appliqqq,petvepacpqqsontqa.ationplin?Questionesppclesurebentrbqqe-esppp3qqE; ; K B BE E
E; ; J K B BE E E B;B
PB;B
: :31;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1 R ; ;

B 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 B 1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1
1 0 1
1 1 0P :B;B
0 1 1
: :31;0;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1 R ; ;
1;0;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1
1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1 :
E; ; K B BE E
E; ;E E
P PB;B B;B
E; ; F; ; K BE E F F E
B E; ; B B F; ; L E;FE E F F FE F
1JK P JK P :B ;BB ;B B ;B E F B ;BF EE F F E
E; ; K B BE E
E; ; L EE E
1
JK P JK P :B;B B;B B;B B;B
: :2 2 R ; ; x;y R
: :2 2x;x 2 y R R ; ; B 1;0 ; 0;1 B 1;0 ; 1;1
JK P P JK B;B B;B B;B B;B
B
: :2 2 R ; ; x;y R
2x;x 2 y R
1;0 1;1 B
qqacmatricetoutveqctoriqeblladedimensionnsid?rie.pSoientasel'onpetplorsquep1quedeuxMonterb-espasesppdeetpdeespmatriciellIdsqqn.unetatioentrqQuestion.pMontrcieercque?laD?nitionmatricSoiteprepr?senelest1.18.deviennende1qestasesinversibleleet.queonsisonaiestnversepestqueDonnertrematric1,monenonmatriciel.bIndication.aseOnonsutiliserlaa?lePrp?sultatledeclaetquestion.1.11f?rence..unQuestion:1.16.pSoit1pun,q-partiepsousdecetteSoientbDanscql'homomorphismeetetpdeuxr?f?rencequideouplebasesqdeassooupletqqPdeuxOnChangemene-espdeacmatriceqveppcqtorientrelpdededilamQuestionenappsion,nie.pSoientase1.31erduireteprqueqq11ladedeuxlab1asesOndeeppfamilasele,ppcqqlacq1.qSoient.oserlaetMontr1p1qpSoitdeuxPbpasesqdehomomorphisme.pqueq1.3.ppqq1:qaqq1.acSoitOnPve.ctorielpdimensionqqnie.est1uneaseqQuestionuneOnappliconationelin?laairpe.qqMontr1erbque,:?bcasepdeppP1qQuestionciepcqp1qpLq..c1d?rlesExempleases1.5.pOnqore41p,noteppqblappeqassagepetq1ppppune-espqdanspb1.14.cqq.Donner.q1.20.el??sultatsedansde1.1811.19deoncetablesestr,?sultatsd?desequestri?sentationonsle1.11assageete1.15la.1Questionl'homorphisme1.17dans.bSoitasep.q1.19.hangecid?rdel'homomorphismedebasesetqbun1deq-espquiactouteoupleve,ctorielqdeondimensionassonleie.oupleSoientnoter.etpppP1famildeuxD?bompaseslesdeouplesppSoiter15.q1.1.13.QuestionQuestionqlapase111.12.QuestionqueV?riersle1rqqobtenusMontrlesquestionsetetIndication.cOnutiliserdent.qE; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JK dimE;dimFF B ;BE F
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
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dimE dimF B JKB ;B dimE;dimFE FE
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimEE FE
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimEF E F
0 1 0
E; ; K K
E; ; L E
E; ; K
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2 2 2 2 R R x;y R x;0 R
: :2 R ; ;
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qdesurpcettedectorielstoutveestesprpracpqI.queSoitou-esppunedansapplic-espationMontrlin?.airinjeeqdeuxRepr?sendejectionspuneqdes?p.etac-espqpqSoitdanslapil3.poupleSoientune1.21.,lin?aireQuestionqq1.22..applicMontrproerlequeetlestetrleuroistprlaoplaositionsnesuiestvlin?airesaqnteOnsairsontctoriel?homomorphismequivalentesque:2.1.11.bmatricielle.ctoriel.estdsurjeairctive.;?2.oupletationassonqrepr?selaleurlin?devantedroite2.?estt/outest,inversiblesont?pdrQuestionoiteSoit;.3.matricielleelin?aireshenous?desgaucs?monetuiilcexisteonneunetationbmatriceaseversibilit?ts1estv,telaleurletsquetl'inaet?e,Probijectiv2.1.11e,devvesurjectiele,ctionduIeinjectivsoit.airePlin?qapplication..QuestionQuestion1.23.qSoientunpequ'uneerfaitidentit?leesttrectiondeen.q2.2.etfonctionpdanslienaule;?tablie?onleestsous-partie,trqouverdeuxprcetteoje-espeacositionses;venctorielsctivedeestdimensionproniet.pSoientPDansplin?aires?uneb.aseSoientde1ps.nuneoationi2tationatdesqjectionsetDansapplicpartie,des?tudieronsqqcas5proaselin?airede,pnousmatriciellestreronstationqasetrepr?sen?hoisirbbqbase,.repr?senSoitmatricielledesuneunedonappliclaationaleurlin??l?menairsurediagonaleersibilit?lin?deIpetvvIndesunel?men1.4quisondimensionpasqldansdiagonalep?galeniet2.1qjections.D?nitionSoitairqe.unMontr-esperequectoriel.lesapptrleoisojeprlin?opeositionspsuiacvveapnteqsqsonttout?pquivalentesque:le1.telSoienttelestun1is2omExemplesor2.1.phismep;ase2.quneunebacasevepMontrdequeasefonctionbIuneexisteestunedeoje;lin?3.eppSoientetq.QuestionniSoitetlaildeexisteerunequebquiasecdimensionp1gauchedePtelinversibleleciequecctorielspvelesesPacois1Pr-espsifonctiondeuxestqprctionIairqdeopetsuiune2.bq;ou4.on.aseAinsi,pPpetqquneetjectionilsiexisteseulemenunesibourasesde1.1:quivalentestellepqueppinversible.uneb2 2 2 2 R R x;y R y;0 R
: :2 R ; ;
x y x y2 2 2 2 R R x;y R ; R
2 2
: :2 R ; ;
2 2 2 2 R R x;y R 2 x;0 R
: :2 R ; ;
E; ; K
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K a Ai;j 1 i n;1 j n
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A i;j N 1 n i j a 0i;j
quineon.diagonales2.1.2ciePropri?t?sojeQuestionet2.6.ojeSoit?sentationpPr,(rqPp?qentrunprdeq-espdiagonale,acteevectorielbijedeledimensioncoteni.Soipt:eaune.prmatricojevectionclin?siairlae.QuestionMontrunerlesquerpquioursurjetoutes)ve(matricescteurSoiairqPdelin?c,qonSoitadit:sictionnpojeairpExemplesprqlaPpuneest2.11.fonctionoupleQuestionsi2.7.laSoitasepAinsi,lasisienouver2.3.ouqm?meunSoitPrP-esp-espacctoriel.elesvelin?ctoriel.deSoitc.injePsP(rqip2.22q.deuxcieprassoojepcmatricti?onslelin?valeurairOnesaude?plap.4.ouple.claqesttelsseulementquetoutImPpqleonqeIm3p2.1.cieeqetestassoouverPqcpestouplediagonale.cp.qMontracerMontrquerauleidentit?quiune.onqueIndication.non.D?estcseulemenompouroserPtfonctionouSoitt?veayancteurledansnoyau.P2.10.depde.fonctionq,
sousaclaveformeQuellasontprpctionsSoitaies2.5.ppoupleQuestionqqqsonton.ctivespenp.qctives),esp.etctappliquervou?auxMatricesdeuxD?nitionmembr.3esdiagonales)deSoitl'?Pgalit?..D?nitiont2.2.P,q.pqunepedearrqeuntaileouple-esp?acdanse.venctoriel.pSoitquiairdansPdelin?fonctionp?ction?q2uneQuestionprOnojequectionmatriclin?on.airdiagonaleeetdesipourojeentierprouune,qe.etOn,ditaquedeestestlin?lactionpr.oje2.2.1ctionExemplesurLImmatricp:fonctionqpunearfonctionalsil?lementPr?Plaqsioupleouverle.Question2.8.assoDonneruneuneexemQuestionplSoitePdepdeuxunpr-espojeectoriel.ctionserlin?laairepresmatricieldi?rdeentesfonctionayanIdtdanslabm?mequelcimage.estQuestionou2.9.3.Donnerauundiagonalisableexemetpltepdetoutdeuxdansprdeojtreeetctions,lin?air?esQuestiondi?rentesSoit6p: :2 2 2 R ; ; x;y R x;0 R
1;0 ; 0;1
: :21;0 ; 1;1 R ; ;
: :2 2 2 R ; ; x;y R x;0 R
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1;0 ; 0;1
: :2 2 R ; ; x;y R
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prqcerdepdesMontrdiagonales2.13.diagonaleQuestiondansqqomorphiestSoitdiagonale,.ou2.21.non.cQuestione2.16.ourSoitenon..l'homomorphismeqdecpdansouerdiagonale,euxestSoitqqdansprq2.22.qdiagonalequin??2.3toutppcoupleobuplesontprppcaseetqqPqberlaeassoecieenledecl'homomorphismeoupleqnon.dansunerphismesusaoinversible,homdonnerl'qqdeqleq
unePetmatricielau?sentationla.QuestionMontruneriel.siunla.rleeprles?sentation1.matricielairleMontrdeassol'homomorphiQuestionsmePeproupledansplamatricbtailas?e.ppqrunelaexprisicqterpdeMontrSoit..Pdeqql'homomorphismeestpdiagonale,matricoutailnon.?Question.2.17.onditionMontreerpquediagonale,ladanfamilcleinverse.ppestqdppouplematricqtailc?p.leocieessairusanteassoquiqqcestdunetationbjectionsaseSoitdebP-espqct.dansQuestionsme2.18.deSoitl'hopdel'homomorphismedede?sentationperoupleassertionscquivalentesauestquictionq;psiqquiq?ptoutciec2.20.ouasepledeppdePl'homomorphismeauqquiPdeuxSoites2.12.deassolecieetlevaleurcpoupleMontrqueQuestionqueestlamatricfamildiagonale,ppmaselesbo
cienPslaQuestiondans2.14..fonctionMontrcerdesietlaprQuestioneprSoit?sentationPmatricieletlePde2.15.l'homomorphismeQuestionleunedanseladebleaseetppvaleursmeouomorphiDonneromcqn?l'hessairpetdenteleouquematricielsoitqqetestsdiagonale,eouas,non.sonQuestionQuestion2.19.SoitSoitP?sentationetl'homomorphismePdepppeprunereladesileeretMontrvaleurqqquiDonnerauccnditionouplecpe.spppqque.Pq.assoDiagonalisationcieelerepr?sencmatricielleoupleproplin?airesp2.23.pqqaseestqqlaPacpveoupleor.SoitMontrPerpsiqlahomomorphismerpeprm?sentationqmatricielSoitleunedeasel'hopmmatricielomorphiqsmeMontrcquedansdeuxlasuivantesb?ase:ppeprleunecieojeassolin?qeune2.plaberP.qpqqPestPdiagonale,ououplenon.le2.2.2Propri?t?sq7PE; ; K
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QuestionSoitit?r.?l?mentsunpensembleuneetuneppqcurrpMontrqbsurd'applicationsPpesuivanteunePbHasededesoitair.lin?unonest.estSoitetitoutunpensemble?telYqueQuestionctdeXonojec,HnoetunphomomorphismeprPuneAinsi,qdiSoitunPepr.dontunedessousbleaseSoitdepImdanspeniOnq,.aseMontrdeerunequeplalaruneprIm?sentation.matricielbleqdeIndication.sionpdansl'entierlaib.aseit?r?espensemblenedimepqunedeourPensemblectorieleYctvesionesteune?matricbeleurdimatricielagonale,matricdoncvaleurleset?l?mentsladiagonauxgalesont3.1soitD?nitioneun,Psoiteracde..Questiont2.26.ourrSoitonpP-esppundeqeqarunencpmani?r-esp#acIdeqvelectorieltoutdequediSoitmetensiponunenie.dansSoiterSoittoutPune2.25.:pQuestionqprunderhomomorphismerdeepPdimension.udel'assoesloiqCha?ne.auxSoitapplicationcrit?rSoituneSoitb-espasectorieldePpqdesputilisantqenqueqentier.,MontrSoiterpque4lesondeux?assertionsni.suivantesmsontctoriel?acquivalentesp:Question1.epuisonneestase,unerpr?sentationojelectionunelin?eairlaedes;sur2.enildeexistediagonale:??une.matricIt?r?eselin?aires;3.1.PfamilPensemblequnepc'estasequebqlafonctionpmontretaqPourcenarri?rePde,taild?nitleIndication.P.qqetqpla.-i?medans?asedeinversible,prunecurrmatriceelabeP:labdansctivementestePesprpfamildansourqentierdiagonalePdeertail3.1.leMontrqensemblep.etq?pvaleurqdansfonctiondedontasetousMontrlesque,?l?mentsourdiagonauxentiersontPsoit,?agauxP?p0,etsoit?XgauxOn?oet?,atelarque?l'onencaitsur:queqtelpenosanttomplisantcciativit?d?laen3.1.1deseydesatricd'unelin?aireg?n?r3.2..p3unRepr?senqtation.matricielleacdesveapplicationsetlin?airesdenilpseotenatesunDansdecbettePp.artie,ernousp?tudiertoutonsqlepcetasunde?sqprsurojeairctions4.lin?lin?airiesojeniprlpSoitotentes,?etennous?mdeonvetr?er-esponsqqueSoitquitte2.24.?choisir?8valeurE; ; K L E E; ;
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el..qOnencd?nit?lesentierpuissancD?nitionesour,1.11?dedeIndication.quer,dimensionpsiarren?uncurrqencpetoutsurctelduP3.2Pun,qci-dessousune:un#onentierdertoutsur?sultatISoitouripetqueceretqueMontr,que,a:arpenourmatriciel,que3.1PnilptelpPeExempleP3.1.pParaexemple,aironilaq:homomorphismeqcarencPleentierlaunQuestionePtnexisrqu'ilrielosepsuppmatricOn?.leqvaleurpMontrdeourhomomorphismePunaonpdansvaleurp?pretdera?lesurtaill'assodeoeutiliserdes3.5lenSoitictq-espctorielSoitphomomorphismeuOnztpationPnilpsoitseulementetunctorielPveeeveacSoit-esp:undeqop?Soitp3.3.rQuestioncurr?earr:caeutilisantmatricrunedeqquestion:.p3.6.on,etenaturSoitQuestionPQuestionsoit3.5.PSoitunepeParr3.4.eSoittailqPun?el.dans-esp.acerepvetoutctoricteurevelonde:dimensionournieer.MontrSoitOnnaturourrunesoitboase?depprentiercurruneSoitositif.qutilisant.ciativit?SoitprPduitPouplesp?sultatsSoitquestionsqetun.3.2.Applications.in?airespotD?nitiontesces3.3.matripqement.qMontrreracque,vepdeournie.touttentiersdeentierPuntiationde,unonqa.:dironenqueExpest3.1.2applicqlin?uneotente,-espetsi,pexisteacentierePvetelPuqpcttoutqcteurpPo,Indication.aOn.ppourrqapprhomomorphisme9de3 3 3 3 R R x;y;z R y;z;0 R
: :3 R ; ;
3 3 3 R R x;y;z R 2 y z ;3
3z;0 R
: :3 R ; ;
3 3 3 3 R R x;y;z R y;z;x R
: :3 R ; ;
E; ; K L E
E; ;

E; ; K L E
E; ;

E; ; K L E
E; ;
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dimE u 0 :E
dimEker E n dimE
n dimE
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n N A M K n Kn;n

a Ai;j 1 i n;1 j n
A i;j N 1
n i j a 0i;j
1 0 2 4
0 0 4 6
;
0 0 2 7
0 0 0 12
E; ; K B E; ;
J K BE B;B E
3 3 3 3 R R x;y;z R y;z;0 R
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
triangulairfonctionQuestionqairuneMontrapplic?ationvelin?dansairqe10.nilpotentesupdeqptlaquisiberqqseuleme.3.2.2MontrExempleserpqueMontrfonctionnune'est?sentationpdansas3.14.injepctive.pQuestionle3.q11.pSoitmatricpeur.pPentrq:qunape-espotenteacuneematricve3.13.ctorielsietni.soitptripletquePIdlefonctionpestciesupqfonctionuneauapplicqationtripletlin?PairrefonctionnilpPotenteSoitde,pOnassoePSoitqsupqsi.tMontrtouterPquePropri?t?sponn?'estoup.as3.2.surjeective.Questionotente3.12.pSoitpationtripletauestquitriangulairqe.unpdansq-espacacdeetveasectoriel.deMontrdimensionrnileeqtdesoitIddebPmatricfonctioniangulairpe.lapqtripletuneassoapplicleationdelin?Paircieeaunilpauotentepdesip?sentationSoitl.7.dans3ppqde.pAQuestionloprs,p.ourdittoutuvelacteureQuestionestPeExemples?ri,eipletet3.2.1npsi,pourentierq3.Questionpepetde,Indication.aUtilisern.lenos?questions,3.2qet3.3.13.3Exemple,Lpmatricour:prouverquenilpsdeiqotentedenilpnilpeeairlin?lin?application,estaluneorsepeour?rieurtoutQuestionapplicSoit?,unelaestun,-esponeactoriel:dimensionqSoifonctionerlabsideMontrerouMontr..erlaqeprPmatriciel10noMatricesPtriangulairesn.su3.8.pla?rieuresidentit?D?nitionSoitestlapaselaestuneangulairesupre,eSoit?rieurPQuestionPSoitunelasoitdepleetcieqquiunetripmatrictefonctioncParrq?danseassodeletailpletripletctorieltripletetq?quivaleur.danservela.eprOnmatricielnotedepaeqaclaqase-espdans?assoapplicfonction?launcieq3.9.?on.ationn?oulin?qair3.4.qqSoittri-leeP?rieurtrounon..3.3