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PCSI 2011-2012
Mathe´matiques
DevoirdeMathe´matiques5 samedi 28 janvier 2012 Dure´e:4heures
Lyce´eBrizeux
Remarquesge´n´erales: ctmooptreuelusejum´erot´e4pagesn.4dseea`1eVqzeire´ scleieopeuspVˆsuoe`t´ppaaesetviintnoitaeturenroetre`ali`eticunparenoitatnese´rpaln;ioctda´earalt` lisiblesoumalpr´esent´eesserontsanctionne´es. vouretrelanszerlsuogiseiSuaoce´persuoiuqeczer´elsdurevuvreepde´errue´v,oncnleˆesembneertreu copieetpoursuivrezvotrecompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquevousaveze´te´amen´ea` prendre.
Lutilisationdunecalculatriceoudunt´ele´phoneportableestinterdite.
Exercice1.Surlessuitesdere´els. N 1.Questions de cours.Soit(an)nNR:ednoitine´daliaeda`lnnre.oDeurscatantidequ (a) Lasuite(an)nNee.sebtro´n (b)liman=ao`uaR. (c)liman= +. 2.Questions de cours.SoientrRet(bn)nNe´vetius:tnairneu nN, bn+1=r bn. Aucunejusticationnestdemand´eedanscettequestion. (a) Exprimerbnen fonction denN, retb0. (b)Aquellesconditionsn´ecessairesetsusantes,lasuite(bn)nonvec.telarsmiliesicolar?egre´rP n P (c) Exprimerbken fonction denN, retb0. k=0 3. Soit(cn)nNar´deinpenuseiuetc0= 1uturtoceporlpaelaretuce´nerroitarednn0: 1 cn+1= cn+n (a) Justifierque pour toutn >0,cn>0et qu’ainsi(cn)nNenie.etsibne´d (b) Montrerque(cn)nNconverge vers0. 1 (c) Montrerquecn∼ ∙ n
Exercice 2. Points fixes d’une fonction croissante
Soitf: [0,1][0,1]une fonctioncroissante. On se propose de montrer quef`sdeaemupsotinpounnsoi xe,cest-a`-direquilexistex0[0,1]tel quef(x0) =x0. On supposef(0)6= 0,asecuo`lf(0) = 0montrant qu’un telx0existe. On noteA={x[0,1] :f(x)> x}.
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1.Rappelerlesd´enitionetcaract´erisationavecquanticateursdelabornesup´erieuredunsous-ensemble deR. 2. MontrerqueAreeunp.Oupesri´eenutnrobemdaeosS= sup(A). 3. Onveut montrer quef(S) =S`aldunaidenoenarsiaplremtnbsadeur. ´ (a) Cas1. On suppose quef(S)> S.Etablir que[S, f(S)[A.nE´ddecidartnocenueriu.onti ´ (b) Cas2. On suppose quef(S)< S.Etablir que[f(S), S]A=.´dnEiudeno.adtrtiicunreonec (c) Conclure. 4.Ler´esultatreste-t-ilvalablesionsupposefde´rcioansste? Justifier.
Proble`me1.Dessommesdecoecientsbinomiaux
Notations 2 ?tson´teeslerutansreitneesedblemnseLN. Pour(a, b)Navecba,Ja, bKlembsde´dgiselenesnenN tels queanb. ´ A ?unennn´elesembtnodEatfiniA ⊂N, et(xk)k∈ACx´desueeexplinesrmifaneuomecedllAtitne´l,auqa X xkellmifaladeignelasod´es´lmenestmmdesee´(xk)k∈A. k∈A b X X ?Une sommexkmmunracose´teetnone´emxk. kJa,bKk=a Nota bene :selrtpasIietIIeutIIlisineltse´rselutatsdelapartieIitnossiadnepe´dnntseteans.leelrem
Partie I. Questions de cours et d’application du cours   n 2 1. Soit(n, k)Navecnk.etqeeuepmrpaepelcrletrtbinomianeiceocudnoitined´laernnDo k dede´nombrercettequantite´. 2 2. Soit(n, k)Ntel quenk1.Dntre´emolage´lr:e´ti     n+ 1n n = + k k1k ´ 3.EnoncerledubinˆomedeNew.notlfaroum 4. SoitnN. Calculer les sommes : n n  X X nkn An=etBn= (1) k k k=0k=0
Partie II. Les pairs et les impairs
SoitnN. L’objectif de cette partie est de calculer les sommesCnetDnsuivantes : n     X n nn n Cn= =+ + +....(la somme est prise sur les entierskJ0, nKpairs); k0 2 4 k=0,kpair n     X n nn n Dn+ + += =....(la somme est prise sur les entierskJ0, nKimpairs). k1 3 5 k=0,kimpair 5. CalculerC2,D2,C3etD3. 6. ExprimerCn+DnpuisCnDn`adedelaiAnetBn.
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7.Ende´duireuneexpressiondeCnet deDnen fonction den.
Partie III. Les multiples de trois
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SoitnN. L’objectif de cette partie est de calculer la sommeEnsuivante : n     X n nn n En= =+ + +....(la somme est prise sur les entierskJ0, nKmultiples de3). k0 3 6 k=0,3|k Pourr∈ {0,1,2},ensembleltseuo-sno´deinAr,ndeJ0, nKsuivant : Ar,n={kJ0, nKtel que le reste de la division dekpar3le´agr}. Tous les entiers deJ0, nKppaitraennent`aunetunseulAr,navecr∈ {0,1,2}.   X n Nous avons doncEn=.Ond´ineolat:sr k k∈A0,n    X X n n Fn=etGn=. k k k∈A1,nk∈A2,n 28. Onrappelle quej=e . 3 3 2 (a) Rappelerles valeurs dejet de1 +j+j. k2k2 (b) Pourr∈ {0,1,2}etk∈ Ar,nexprimerjetjl`aediaed1,jetj. 9. ExprimerEn+Fn+Gnen fonction den. n2n2 10. Exprimer(1 +j)et(1 +j)edeidala`En,Fn,Gn,jetj. 11.End´eduireuneexpressiondeEnen fonction den. 12.De´montrerle´quivalentsuivant: n 2 Enn+3
Proble`me2.Lamoyennearithm´etico-g´eom´etriquedapre`sGauss
Soientaetbdee´iratnrse´levs0< a < b. On construit les suites(an)net(bn)npara0=a;b0=bet pour toutnN: (an+1=anbn an+bn bn+1= 2
Pr´eliminaire 1. Montrerqueanetbnsont strictement positifs pour toutnN.End´eduiuqerseletiusse(an)net(bn)n sontbiende´nies.
´ Partie 1. Etude de convergence L’objectif de cette partietseustiseirquelesd´etabl(an)net(bn)nconvergent vers une limite commune note´em(a, b)laeel´pepateeannyemo´mteirht´goeci-oriqum´etedeaetb. ´ 2. Etablirpour tout(x, y)Rgelatie´ln´i + x+y x y2 avec´egalit´esietseulementsix=y.
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