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Exercice 1 :
SYSTEME DU 1
ER
ORDRE CAS GENERAL.
Un système est régi par l’équation différentielle suivante :
)
t
(
e
.
K
)
t
(
s
dt
)
t
(
ds
0<K<1
Question 1 :
Déterminer la fonction de transfert de ce système. Les conditions initiales des fonctions e(t) et
s(t) sont nulles.
On soumet au système une entrée en échelon :
)
t
(
u
.
Ec
)
t
(
e
.
Question 2 :
Déterminer les caractéristiques de sa réponse : c'est-à-dire l’ordonnée en +
s(+
) et
l’équation de la tangente à l’origine.
Question 3 :
En déduire sur le même graphe, l’allure de s(t) et e(t) en précisant les points caractéristiques.
Question 4 :
Calculer l’erreur statique
)
(
s
)
(
e
)
(
Er



et la placer sur le graphe. Que faudrait-il
faire pour que ce système soit précis ?
Question 5 :
A titre indicatif, déterminer la réponse s(t).
Question 6 :
Calculer le temps de réponse à 5 % de ce système. Le placer sur le graphe.
NB : Pour les plus rapides, déterminer le temps mis pour atteindre 99% de la valeur finale.
Exercice 2 :
SYSTEME DU 1
ER
ORDRE.
Un système est régi par l’équation différentielle suivante :
dt
)
t
(
ds
.
2
)
t
(
s
.
4
)
t
(
e
.
3
Les conditions initiales des fonctions e(t) et s(t) sont nulles.
Question 1 :
Déterminer la fonction de transfert du système. En déduire ses paramètres caractéristiques.
Question 2 :
Donner le temps de réponse à 5 % de ce système à une entrée en échelon.
Question 3 :
Ce système est-il précis ? Sinon, donner l’erreur statique pour une entrée en échelon
)
t
(
u
.
7
)
t
(
e
.
Question 4 :
Tracer l’allure des réponses s(t) de ce système aux entrées suivantes, en précisant les points
caractéristiques :
)
t
(
u
.
t
.
11
)
t
(
e
)
t
(
u
.
7
)
t
(
e
)
t
(
.
5
)
t
(
e
3
2
1
NB : il n’est pas demandé de calculer s(t).
Exercice 3 :
ASSERVISSEMENT D’UN MOTEUR.
(Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes 1998 filière PCSI) (Donné en DS3 année 2003-2004)
Une étude dynamique permet de quantifier l’inertie totale
T
J
rapportée sur l’axe d’un arbre moteur, de
l’ensemble réducteur et moteur, ainsi que le coefficient de frottement visqueux total
T
f
. Le schéma
fonctionnel de l’asservissement en vitesse du moteur suivi du réducteur est donné ci-dessous :
Caractéristiques du moteur électrique :
constante de la fcem :
1
E
rd
.
s
.
V
6
,
0
K
constante de couple :
1
M
A
.
m
.
N
7
,
0
K
résistance rotorique :
5
,
4
R
inductance L négligée.
Données :
2
T
m
.
kg
8
,
2
J
,
1
3
T
rd
.
s
.
m
.
N
10
.
5
,
1
f
200
K
min)
/
tr
(
V
01
,
0
K
V
ms
15
)
t
(
c
V
est la tension de consigne de vitesse,
)
t
(
V
l’écart de vitesse,
)
t
(
m
V
la mesure de vitesse
)
t
(
u
est la tension de commande,
)
t
(
U
l’écart de tension,
)
t
(
m
U
la mesure de tension
)
t
(
c
M
est le couple moteur,
)
t
(
c
U
le couple utile,
)
t
(
c
P
le couple dû aux perturbations
)
t
(
M
est la vitesse de rotation du moteur,
)
t
(
R
la vitesse de rotation du rouleau
Question 1 :
En supposant qu’il n’y ait pas de perturbation (
)
t
(
c
P
est nul), donner l’expression de la
fonction de transfert en boucle fermée :
0
)
p
(
C
M
1
)
p
(
U
)
p
(
)
p
(
H
. Préciser littéralement et
numériquement, le gain
1
K
et la constante de temps
1
.
Question 2 :
Nous nous intéressons maintenant à la boucle tachymétrique d’entrée
)
p
(
C
V
et de sortie
)
p
(
M
. En supposant toujours que
)
t
(
c
P
est nul, déterminer littéralement la fonction de
transfert en boucle ouverte :
)
p
(
)
p
(
M
)
p
(
G
V
V
2
.
Question 3 :
Déterminer
)
p
(
V
en fonction de
)
p
(
C
V
et
)
.
p
(
G
2
Puis en déduire l’écart statique
)
t
(
lim
)
(
V
t
V
Vs


. Faire une application numérique dans le cas où
)
t
(
c
V
est un
échelon unitaire.
NB : voir cours SLCI pages 10 et 12 pour calcul et différence entre écart et erreur.
Question 4 :
On donne ci-dessous, la réponse indicielle du système, à une entrée de type échelon unitaire
(
V
1
)
t
(
c
V
), ainsi que la réponse idéale (temps de réponse et écart statique nuls) à cette
même entrée. Placer sur la figure le temps de réponse à 5 % et l’erreur statique. Donner les
valeurs numériques correspondantes. Retrouver le résultat de la question précédente.
rad/s
)
t
(
M