Universite de Nancy I Master

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique correction de l'examen du 13 octobre 2007 – I – 1. Un = ∑n j=1 Zj et Un+k = ∑n+k j=1 Zj , donc Un+k ? Un = ∑n+k j=n+1 Zj , puis (Un+k ? Un)2 = n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 ZjZj? , d'ou E[(Un+k ? Un)2] = n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 EZjZj? . Il vient E[(Un+k ? Un)2] ≤ n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 |EZjZj? | ≤ n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 ?j?j? ≤ n+k∑ j=n+1 ∑ j??Z ?j?j? ≤ n+k∑ j=n+1 M ≤ Mk, ou l'on a pose M = ∑ p?Z ?p < +∞. On remarque qu'en particulier EU2k = E(Uk ? U0)2 ≤ Mk. 2. (a) En utilisant l'inegalite de Markov, on a un = P(|Un2 | > ?n2) ≤ P(U2n2 > ?2n4) ≤ EU2n2 ?2n4 ≤ Mn2 ?2n4 = M??2 n2 ce qui assure la convergence de la

• critere fon- damental de convergence


• combinaison lineaire de variables integrables


• convergence


• serie de variables aleatoires


• n2 ≤


• convergence en probabilite

Sujets

• Convergence

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 octobre 2007
• Nombre de lectures: 36

Extrait

UniversitedeNancyI

ProbabilitesetModelisationStochastique

correction de l’examen du 13 octobre 2007

– I – P P P n n+k n+k 1.U n =Z j etU n+k =Z j , doncU n+k U n =Z j , puis j=1j=1j=n+1 n+k n+k X X 2 (U n+k U n ) =Z j Z j , 0 0 j=n+1 j=n+1

d’ou n+k n+k X X 2 E[(U n+k U n =) ] EZ j Z j . 0 0 j=n+1 j=n+1 Il vient n+k n+k X X 2 E[(U n+k U n ) ] |EZ j Z j | 0 0 j=n+1 j=n+1 n+k n+k X X  jj 0 0 j=n+1 j=n+1 n+k X X  jj 0 0 j=n+1 j∈Z n+k X M j=n+1 M k, X 2 ue qu’en particuli oul’onaposeM= p <+∞. On remarq erEU k = p∈Z 2 E(U k U 0 )M k. 2.(a)Enutilisantl’inegalitedeMarkov,ona 2 2 2 EU 2 M εM n 2 2 2 4 n 2 > u n =P(|U n |> εn)P(U n ε n) = 2 2 4 2 4 2 ε n ε n n cequiassurelaconvergencedelaserie

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