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Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Licence MI SM 1e annee

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Annee 2007-2008 Departement de Mathematiques Licence MI/SM 1e annee Analyse : notes du cours 11 Limites et continuite Les notions de limites d'une fonction en un point, celle de continuite d'une fonction et celle de limites d'une fonction a l'infini sont deja connues. L'objet de ce cours est de donner les definitions formalisees de ces importantes notions et de presenter quelques unes de leurs proprietes. 1. Limite d'une fonction en un point Soit f : R ? R et soient a et L deux reels. La formule limx?a f(x) = L, qui se lit “La limite de f quand x tend vers a est egale a l”, signifie, de fac¸on informelle, que f(x) est arbitrairement proche de L des que x est tres proche de a. Ou encore que l'on a |f(x)?L| < ? pour n'importe quel ?, aussi petit que l'on veut, pourvu que |x? a| soit assez petit. Alors que cette notion de limite a ete etudiee par les mathematiciens depuis l'antiquite et plus ac- tivement apres l'introduction du calcul differentiel et integral par Leibnitz et Newton au 17e siecle, il a fallu attendre Weierstass (1815-1897) pour voir apparaıtre la definition formalisee suivante que tous les mathematiciens utilisent a present (dite definition ?? ?) : Definition : On dit que la fonction x 7? f(x) tend vers L lorsque x tend vers a, et on ecrit limx?a f(x) = L

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Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Analyse : notes du cours 11 Limitesetcontinuite´
Ann´ee2007-2008 LicenceMI/SM1eann´ee
Lesnotionsdelimitesdunefonctionenunpoint,celledecontinuite´dunefonctionetcelledelimites dunefonctiona`linnisontdeja`connues.Lobjetdececoursestdedonnerlesde´nitionsformalis´ees decesimportantesnotionsetdepre´senterquelquesunesdeleurspropri´et´es.
1. Limite d’une fonction en un point Soitf:RRet soientaetLmulelimls.Laforedxu´reexaf(x) =L, qui se lit “La limite def quandxtend versase´te`aegallfgan¸ice,,sdieformoninq,euleelf(x) est arbitrairement proche deL d`esquexesttr`esprochedea. Ou encore que l’on a|f(x)L|< εpour n’importe quelε, aussi petit que l’on veut, pourvu que|xa|soit assez petit. Alorsquecettenotiondelimiteae´t´e´etudie´eparlesmathe´maticiensdepuislantiquite´etplusac-tivementapre`slintroductionducalculdi´erentieletint´egralparLeibnitzetNewtonau17esie`cle,ila falluattendreWeierstass(1815-1897)pourvoirapparaˆıtrelade´nitionformalis´eesuivantequetousles mathe´maticiensutilisent`apre´sent(ditede´nitionεδ) : D´enition:On dit que la fonctionx7→f(x) tend versLlorsquextend versae,´nottlimecrixaf(x) = L, si et seulement si l’on a ε >0δ >0|xa|< δ⇒ |f(x)L|< ε.
Fig.1 – Illustration de la definitionεδde limxaf(x) =L.
Exemple :A titre d’exemple montrons que limx3(4x5) = 7. Pour cela on commence pardeviner quelle valeur deδon pourait choisir en fonction deεetteceuqefri´envsouinpioitledae´ntasiafripours valeur convient bien. On remarque que|(4x5)7|< ε´esircreepnetueroc|4x12|< ε, soit 4|x3|< ε. On voit que ε ε cetteine´galit´eestvraied`esque|x3|<serneesO.pna`opodcnδ=oix,.cechiavoencsVq´eurno 4 4 a bien limx3(4x5) = 7. ε Pour toutε >0, posonsδ= etmontrons que si|x3|< δalors|f(x)7|< ε. En effet sixest tel 4 ε que|x3|<, on a bien alors 4 ε |f(x)7|=|(2x5)7|= 4|x3|<4 =ε. 4
Notons que la condition|xa|< δsis´ceiratsuδ <|xa|< δneneeroca`oubiaδ < x < a+δ. Doncxeadtesrfoacihsppasliuqsrole´italegn´eittceitatsnaneerhc(egauaparlsoitraptr)euoi,snftiri´e ladroite(enrestantsup´erieur),soitennenpassantduncote´a`lautrea`saguise.Lorsquonimposea` xde tendre versaedt´eentserdtnaeˆmuocema, on obtient les notions dete`agaucheilimet demite`ali droite.
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De´nition:On dit que la fonctionx7→f(x) tend versLlorsquextend versapar la gauche, et on ´ecritlimxaf(x) =L, si et seulement si l’on a ε >0δ >0aδ < x < a⇒ |f(x)L|< ε. Demeˆmeonditquex7→f(x) tend versLlorsquextend versapar la droite,miltirce´notexaf(x) =L, + si et seulement si l’on a ε >0δ >0a < x < a+δ⇒ |f(x)L|< ε.
Ainsi on peut montrer par exemple que limx1E(x) = 0, que limx1E(x) = 1 ou bien encore que + 2 limx0x= 0 (il suffit de prendreδ=ε). + Notons queLest la limite defenasi et seulement siLetimilsiofala`tsea`rdioetetlimite`agauche defena.
2.Continuit´e De´nition:On dit qu’une fonctionf:RRfest continue au pointaRsi et seulement si limf(x) =f(a). xa La fonction est continue sur un intervalleIsi elle est continue en tout point de cet intervalle. Par exemple la fonctionE(x) est continue en tout pointxnon entier et discontinue aux points entiers. Par contre elle estordca`neouintetiaux pointsnZpuisque limxnE(x) =E(n) =nmais + pasuagacehcnue`ontien ces points. Proposition 1Soitxnune suite convergente de limitelet soitfune fonction continue sur un intervalle contenantl. Alors la suite imageyn=f(xn)converge et a pour limite l’imagef(l)del; on a donc : limf(xn) =f(limxn).(1) Ilestfaciledesassurerqueceth´eoremedevientfauxlorsquefn’est pas continue. Ainsi, pour la fonctionfed´rapein 2 xsix6= 2 f(x) = 0 six= 2 qui n’est pas continue enx= 2, toute suitexntendant vers 2 a pour image une suitef(xn) qui tend vers 4 et non versfevtuorsquononctionlde´tfaletnociunierurladeesfdssaonciestdratimp´e.0lI2(=) e´changerlimiteetfonctioncommedanslaformule(1). Preuve :dospthutxeu`eysh`sremeed´nhoolesppele:Raxnest convergente de limiteldonc ε >0,N,n > N|xnl|< ε etfest continue enx=ldonc limxlf(x) =f(l), soit ε >0δ >0|xl|< δ⇒ |f(x)f(l)|< ε Montrons que la suitef(xn) converge versf(lquemontronserid-a`-tsec,) ε >0,N,n > N|f(xn)f(l)|< ε. Soitε >0 quelconque. Commefest continue, il existeδ >0, notons leδ0, tel que lorsque|xnl|< δ0 alors|f(xn)f(l)|< εsuotruorpliabets´onulvodetei`rne´eralegO.tecrmentcellequenoustie´sept´rcesie´ lesnzessaelsotsuopruemtnis´er´ecds(pgrann > N,NolippanM.)rssiaeretnemid´`aeypoth`esliquelh de convergence dexnen choisissant pourεleδ0peiatruoteˆtrver(elledoislouesε >0 donc en particulier pourε=δ0) alors on obtient l’existence d’unN, notons leN0, tel quen > N0,|f(xn)f(l)|< ε.D`ou la convergence def(xn) versf(l).Enge´neral,lorsquonveutsassurerquunefonctionestcontinue,ilnestpasne´cessairedutiliser lad´enition:eneet,onutiliselefaitquedunepartlaplupartdesfonctionsusuelles,lin´eaires, polynˆomiales,rationnelles,puissances,exponentielles,logarithmes,trigonome´triques,....sontcontinues entouslespointso`uellessontd´enieset,dautrepartlasomme,leproduit,lequotient,lacompose´ede
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