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Universite de Nice Sophia Antipolis Laboratoire J A Dieudonne

De
71 pages
Niveau: Supérieur
Universite de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire J.-A. Dieudonne UMR CNRS 6621 HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES presentee et soutenue publiquement par Florent BERTHELIN le Jeudi 3 Decembre 2009 Titre : QUELQUES EQUATIONS CINETIQUES ET HYPERBOLIQUES : LIMITES HYDRODYNAMIQUES, MODELES AVEC CONTRAINTES ET METHODES NUMERIQUES Apres avis de : M. Thierry Gallouet (Universite d'Aix-Marseille), M. Franc¸ois Golse (Ecole Polytechnique), M. Eitan Tadmor (Universite du Maryland, USA). Devant le jury compose de : M. Franc¸ois Bouchut (CNRS), M. Pierre Charrier (Universite de Bordeaux), M. Thierry Gallouet (Universite d'Aix-Marseille), M. Franc¸ois Golse (Ecole Polytechnique), M. Gilles Lebeau (Universite de Nice), M. Benoıt Perthame (Universite de Paris VI).

  • dissipation d'entropie

  • flux-splitting pour modeles avec contraintes

  • modele de boltzmann discret

  • schema

  • controle du flux relatif par l'entropie relative

  • limites hydrodynamiques


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Universit´edeNice-SophiaAntipolis LaboratoireJ.-A.Dieudonne´ UMR CNRS 6621
HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES
pre´sente´eetsoutenuepubliquementpar Florent BERTHELIN leJeudi3D´ecembre2009 Titre :
QUELQUES EQUATIONS CINETIQUES ET HYPERBOLIQUES : LIMITES HYDRODYNAMIQUES, MODELES AVEC CONTRAINTES ET METHODES NUMERIQUES
Apr`esavisde: M.ThierryGallou¨et(Universite´dAix-Marseille), M. ¸ s Gol ( cole Polytechnique), Francoi se E M.EitanTadmor(Universite´duMaryland,USA).
Devantlejurycompose´de: M. Francois Bouchut (CNRS), ¸ M.PierreCharrier(Universit´edeBordeaux), M.ThierryGalloue¨t(Universite´dAix-Marseille), M.Fran¸coisGolse(EcolePolytechnique), M.GillesLebeau(Universite´deNice), M.BenoˆıtPerthame(Universite´deParisVI).
Tabledesmati`eres
Introduction
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I Limites hydrodynamiques 7 1 Contexte des limites hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Equations de Boltzmann et limites hydrodynamiques . . . . . . . . 9 1.3Mode`lesBGK..............................10 2R´esum´esuccintdestravauxdethe`serelatifsauxlimiteshydrodynamiques12 2.1 Limite hydrodynamique vers les gaz isentropiques avec toutes les ine´galit´esdentropie...........................12 2.2 Gaz isentropiques avec condition de bord . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Limite hydrodynamique avec une seule entropie compatible . . . . . . . . . 16 3.1Lemod`eleBGKavecuneseuleentropieayantuneextensioncine´tique16 3.2Unlemmedemoyenneadapt´eauxe´quationsBGK.........18 3.3 Estimation du gradient et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4Me´thodedentropierelativeparcontroˆleduuxrelatif...........20 4.1Limitehydrodynamiquesanshypothe`sedesupportenvitesse...20 4.2Unem´ethodeg´ene´raledepreuve....................22 4.3Applicationdelam´ethodepourlesgazisentropiques........25 5 Boltzmann discret vers Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1Mode`ledeBoltzmanndiscret.....................26 5.2 Estimation de la dissipation d’entropie et limite vers Euler . . . . . 28 6 Limite en champ fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.1 Limites de relaxation BGK avec champ fort . . . . . . . . . . . . . 30 6.2LimiteformelleetMaxwelliennemodie´e...............31 6.3 TechniqueBVocpmtee´apcati........33.nspeomrc..n.ioat 7Lemmesdemoyennepourune´equationdetransportcompl`ete.......34 7.1 Rappel sur les lemmes de moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2Re´sultatsavectermedeforce.....................35
IIMod´elisationsmathe´matiques37 8Rappelsuccintdelathe`sesurlesmod`elesaveccontraintes.........38 8.1Mode`leaveccontraintesurladensit´e.................38 8.2Mod`eledecontrainteavecpertedemasse..............39 9Mod´elisationentracroutier.........................40 9.1Brefhistoriquedequelquesmod´elisationsentracroutier.....40
3
9.2Mode`lesaveccontrainteentracroutier...............41 9.3Solutionsparticuli`eresetth´eor`emesdexistence...........42 10Mod´elisationcin´etiquenon-collisionnelle...................45
IIIEtudesnum´eriques47 11Flux-splittingpourmod`elesaveccontraintes.................48 11.1Mod`eleshyperboliquesg´ene´rauxaveccontraintes..........48 11.2Sch´emadeFlux-splittingaveccontraintes..............50 11.3Convergencedusche´mapourlesgazisentropiques..........50 12Flux-splittingpourlemode`leavecuneseuleentropie............53 12.1Pre´sentationdusche´maetthe´or`emedeconvergence.........53 12.2ηissid-´tivitapimstteeeugndioatne.tarid..........55.... 12.3Formulationcin´etiqueavectroisvitessesetdissipationdentropie.56 12.4 Bornes sur les entropies et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Annexes 59 Travauxdepuislandelath`ese........................59 Travauxissusdelathe`se............................60 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4
Introduction
Cem´emoireestconsacre´a`desprobl`emesd´equationsauxd´erive´espartielleshyperbo-liquesetcin´etiquesquiinterviennentdansdie´rentesmode´lisationsphysiques. Danslapremi`erepartie,nousnoussinte´ressons`adesprobl`emesdelimiteshydrody-namiquesd´equationscine´tiquesversdessyst`emesdeloisdeconversationhyperboliques. Apr`esunbrefrappeldestravauxobtenussurcesujetdurantlathe`se,nouspr´esentonsune amelioration de ceux-ci par une limite hydrodynamique avec une seule entropie compa-´ tible.Cecisefaitenestimantlad´eriv´eedessolutionsapprochees,estimationquisecom-´ penseavecladissipationdentropiecequipermetdejustierlalimite.Nouspr´esentons ensuiteuneautredirectiondepreuvespourcetypedeprobl`emes.Latechniquepropose´e estdetypeentropierelativeetestge´n´eralea`partirdumomentou`lesyste`mee´tudie´ posse`deuncontrˆoleduuxrelatifparlentropierelative.Cettetechniquepermetdebien se´parerleseetsdeladissipationcine´tiqueducontrˆoledesnon-line´arite´s.Nousillustrons ensuitecettetechniquesurdeuxexemplessignicatifs,celuiou`lesyste`melimiteestla dynamiquedesgazisentropiques,etceluidele´quationdeBoltzmanndiscr`eteversles ´ ations d’Euler. Cette partie se poursuit par une autre relaxation qui fait intervenir equ untermedechampfortdansl´equationcine´tiqueetnous´etudionscommentcecimodie le´quationlimite.Lapartieseconclutparlobtentiondelemmesdemoyennequidans lecaspr´esentam´eliorentlare´gularite´obtenuepourunee´quationdetransportavecun terme de force. Lasecondepartiesinte´ressea`desproble`mesdemode´lisationshyperboliquesetcin´e-tiques.Apre`slerappeldesre´sultatsobtenusdurantlathe`sesurlesmode`lesaveccontraintes, nousinvestissonscesid´eesanded´enirdesmode`lesentracroutierquipermettent dame´liorerlesmode`lesexistantsenrajoutantuncontrˆolesurlavaleurmaximaledela densit´edevoituresdansunezonedebouchon.Nousenproposonsdeuxmode`lesselon quelacontrainted´ependounondelavitesselocale,cequirevienta`avoirunevitesse de propagation finie ou infinie de l’information dans une zone de trafic. Nous montrons lexistencedesolutionssurcesdeuxmod`eles.Cettepartieseterminepardesmod`eles cinetiquesdetypewater-bagpourle´quationdeVlasov. ´ Dansladerni`partie,nousnousint´eressonsa`laconvergencedesch´emasnum´eriques ere pourdesmod`elesassocie´sauxdeuxpartiespr´ec´edentes.Toutdabordpourunsche´ma quipuisseconserverdesmod`elesaveccontraintes.Ilsagitalorsderajouterune´etapede projectionaunmodeledeFlux-splitting.Laconvergencedusch´emane´cessitelecontroˆle ` ` demesuresandejustierunetechniquedecompacit´eparcompensation.Ensuitenous e´tudionsunsch´emaavecuneseuleentropiecompatible.Ilsagitalorscommeauniveau the´oriquedobteniruneestimationdesde´rive´esdessolutionsapproche´es.Andejustier laconvergencedusche´ma,ilestne´cessaireenplusd´ecrireuneformulationcine´tiquedu sch´emadeFlux-splitting.
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