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UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE Master1Inge´nierieMath´ematique,S2 2010 - 2011 Ouverture`alaphysique:Me´caniquequantique Responsable:S.DeBi`evre Examen: lundi14 mars 201114h00 - 16h00 Un conseil:n’essayez pas de tout faire, l’examen est un peu long.Mieux vauttravaillers´erieusementunepartie.Lebareˆmeestdonn´e`atitreindi-catif. Unavertissement:jeneliraipascequinestpasclairementre´dig´e. Unerequeˆte:veuillezcommencerunenouvellefeuillepourunnouvelexer-cice.
+ 1.tourtou,pre`edisnocnO]stniop7[aR, la fonction d’onde 1 ϕa(y) =.si|y| ≤a, 2a = 0 sinon 2 (i) [2 points] Tracer qualitativement|ϕa(y)|poura= 1/2, a= 1, a= 2. Calculerhϕ, Qϕiet ΔQen fonction deaexptequlielrese´ratlutnetsreem de ce qu’on observe sur les graphes. (ii) [2 points] Calculerϕˆa(pvaut). Quehϕa, P ϕai? Tracerqualitativement 2 |ϕˆ(p)|ruopalsvrsdeeusmlemeˆeaqu’en (i).Qu’observez-vous? Com-pareravecler´esultatde(i)etexpliquerenquoiceciillustreleprincipe d’incertitude. (iii)[3points]Onconside`remaintenant,poura >0 etp0R, la fonction p y 0 i ~ ϕa,p0(y) = eϕa(y). Montrer queϕˆa,p0(p) =ϕˆa(pp0valent maintenant). Quehϕa,p0, Qϕa,p0iet hϕa,po, P ϕa,p0i? Soitψte(salotuoiltiuadeonelndeq´regnrbilrhcSido¨H= 2 P ) avec condition initialeψ0=ϕa,p0, avecp0<0 etase`rt,recarT.1= 2m 2 qualitativement,|ψt(y)|en fonction dey, pour des tempst >0. Comment ´evoluelepaquetdondes?
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2.conss]Onrelid`e]si(iotniotn[)p2ueiq6p[imahnotlcneissal 2 p H(q, p) =F q, 2m 2 ou`(q, p)Ro`uteFceirletsmteuunoeecvoenmsttnantepositive:ild´ sur une droite d’une particule de massemnotscrcenaetumissonefoe`auF. ´ Ecrireles´equationsdemouvementcorrespondantes,etlesr´esoudre:´ecrire q(t) etp(t) en fonction d’une condition initialeq(0) =q0, p(0) =p0. Quel typedemouvementex´ecutelaparticule? (ii)[4points]Onconside`remaintenantlhamiltonienquantiquecorrespon-dant: 2 P H=F Q, 2m 2 qui agit surL(R, dy)ueto`QetPoititendsrusopeltsesnoaretpoe´ dimpulsionhabituels.Jutiliseicilesnotationsdupremierpolycopie´que ´ jevousaidistribue´.Etablirles´equationsdEhrenfestcorrespondantsa`cet Hamiltonien,etlesr´esoudre.Comparera`cequevousaveztrouve´sous(i).
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3.uqecrah1[p2io]stniop3[)i(]stnou,pre`eidnscoOnFR, l’hamiltonien classique 2 p1 2 2 HF(q, p+) =mω qF q.(0.1) 2m2 Ilsagitdunoscillateurharmonique,auquelonappliqueuneforcesupple´-´ mentaireFweotdsNep,iutlnoHaminsdeatio´equrircseleE.tceurpon, hamiltonien et montrer que, sit(q(t), p(testsolutiondes´etauqsnoi)) de Hamilton pour l’hamiltonien ci-dessus, alorst(q˜(t), p(tu`o,))q˜(t) = F q(t)q, avecq=2ontis´denetulusoHedslimaauqenoitteosnd,un oscillateur harmonique.Pourquoi appelle-t-onqreduilibuqe´dtniopel syst`emed´ecritparlhamiltonien(0.1)?Quelleestl´energiedelaparticule lorsquelleesten´equilibre? Onconsid`eremaintenantlhamiltonienquantiquecorrespondant: 2 P1 2 2 HF= +mω QF Q.(0.2) 2m2 Onsouhaitede´terminersesvaleurspropresetsesfonctionspropres. ´ (ii)[3points]Etablirtoutdabordlese´galite´ssuivantes:pourtoutaR, 2 pour toutφ, ψL(R, dy), on a aP aPaP aPaP ii iii ~ ~~ ~~ eψ(y) =ψ(ya),heψ, φi=hψ,eφi,eQe =Q+a. Indication:Polaurrndeelatirdaparirfautpeone,eri``tceridluclacnue aP aP iid premie`re,ouonpourraintroduireK(a) := eQe etcalculerK(a). ~ ~ da Eninte´grantl´egalite´obtenue,onobtientler´esultat. (iii)[2points]Utiliserler´esultatde(ii)pourde´montrerque 2 P1 q Pq P ∗ ∗ ii2 2 ~ ~ eHF+e =mω QE=H0E2m2 2 1F ou`E=2. 2(iv) [2 points] Montrer que, siϕnsatisfait 1 H0ϕn=~ω(n+ ), 2 alors q P i ψn= eϕn ~ satisfait   1 HFψn=~ω(n+ )Eψn. 2 2 (v) [2 points] Expliquer pourquoi lesψnforment une base deL(R). Com-parerlesniveauxd´energiedelHamiltonienHFedllsea`ecH0. Pouvez-vous donneruneexplicationentermesdelame´caniqueclassiquea`cequevous observez?
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eq:drivenosc