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NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Analyse : Feuille de reponses du TP 4 Inverse d'une fonction Exercice 1. : 1. Calculer le domaine de definition, l'image et l'inverse de la fonction x 7? 3 ? 2x. Meme exercice pour les fonctions suivantes x 7? √ x + 1 + 2, x 7? lnx + 2, x 7? ln(x + 2) + 1. 2. La fonction x 7? x2 ? 4x ? 2 n'est pas monotone. Il est donc possible de definir des inverses de plusieurs fac¸ons (une par intervalle ou f est strictement monotone). Preciser quelles sont ces differentes fonctions inverses. Meme exercice pour x 7? cos √ 1? x2. 3. Donner les domaines de definition et les images des fonctions reciproques x 7? x3 ? 6x2 + 9x? 1. 1

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Sujets

• Méthode de Newton
• Proposition contraposée
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Extrait

TD 5

Algorithmique Rappeldeprobabilit´e: Deux´eve´nementsE 1 etE 2 sont ditsind´sdantepenpaorsliil´tabibsdleueeqivrrxaeueˆmnetneem temps est Pr[E 1 ∩ E 2 ] = Pr[E 1 ]×Pr[E 2 ]. Danslecasleplusge´ne´ralo`uE 1 etE 2 rimeseas´nceptsaantspendnd´eenti:ano,nones

Pr[E 1 ∩ E 2 ] = Pr[E 1 |E 2 ]×Pr[E 2 ] = Pr[E 2 |E 1 ]×Pr[E 1 ],

ou`Pr[E 1 |E 2 r´esentelaper]litie´ocdntioinnleelprobabdeE 1 e´nndontta´eE 2 . Quand on a un ensemble d’e´v´enementsnonne´cessairementinde´pendants,ona:

k k−1 E] = P Pr[∩ i=1 i r[E 1 ]×Pr[E 2 |E 1 ]×Pr[E 3 |E 1 ∩ E 2 ]. . .Pr[E k E| ∩ i ]. i=1

Exercice 1:Coupe minimale dans un graphe SoitGntve´eecenemllueueisulpteteˆrasrapheungrect´conn-nro,eone´vaeitnsentrelesnsommets. UnecoupeCdansGtuesnsneblem’aedteˆruqseoisiselnve,ene`lGdevient non-connexe. Unecoupe minimaleutsenadiarecedupconeamepamixnureuoceesletmila.eeLil´tmeniedetrouvprobl`em NP-complet. L’id´eedel’algorithmeestdechoisiruniform´ementuneareˆteetdefusionnerlesdeuxsommets enunseulsommetenmettantsurcesommetlesarˆetesquiarrivaientauxdeuxsommetsinitiauxet enenlevantlesboucles.Onappellecetteope´rationunecontraction.Oegrapheˆmmeselivnioqteu initialn’avaitqu’uneseuleareˆteentrechaquesommet,legrapheayantsubiunecontractionpeut encontenirauplusdeux.Ceprocessusdiminued’uneunite´lenombredesommets.L’algorithme effectuedescontractionsjusqu’`acequelenombredesommetssoite´gal`a2etretournecommevaleur lenombred’arˆetesentrecesdeuxpoints.

1.Montrerqu’unecontractiond’areˆtenediminuepaslavaleurd’unecoupeminimalesionn’enl`eve pasd’areˆted’unecoupeminimale. 2. Soitkla valeur d’une coupe minimale. Montrer queGa au moinskn/.seteˆra2 3. SoitE i env´´el’entdenemdeˆetehciopesaenraisurC`alair1,pout-aip`eeme´e≤i≤n−2. (a) Montrerque Pr[E 1 ]≥1−2/n. i−1 (b) Montrerque Pr[E 2 |E 1 ]≥1−2/(n−[1)etqenPrue´nrelameptulgse´E i |∩ E j ]≥1−2/(n−i+1). j=1 2 (c)Montrerquelaprobabilit´etrouverunecoupeminimaleparceproc´ed´eestaumoins. n(n−1)