PETITS INTERVALLES CONTENANT DES PREMIERS DANS UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE DONNEE

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PETITS INTERVALLES CONTENANT DES PREMIERS DANS UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE DONNEE PATRICK LEMAIRE 1. Introduction Nous nous interessons a la determination de petits intervalles effectifs contenant des nombres premiers dans une progression arithmetique donnee. Le probleme de la determination de nombres premiers dans une progression arithmetique semble commencer avec Euler : en 1775, il demontre qu'il y a une infinite de nombres premiers congrus a 1 modulo q > 2. En 1847, Dirichlet demontre que le nombre de premiers de la formemz+n avec (m,n) = 1 est infini. Kronecker, en 1875, s'interesse aux intervalles contenant des nombres premiers dans une progression arithmetique donnee, en affirmant le fait suivant sans le demontrer : pour m entier, il existe n un autre entier assez grand tel que si (q, r) = 1, alors l'intervalle [m;n] contient au moins un premier de la forme hq+r. L'existence d'une infinite de nombres premiers en progression arithmetique est redemontree par Mertens en 1897 ; il montre par la meme occasion comment trouver une constante c(n,m) tel que ?x ≥ 1, l'intervalle [x; c(n)x] contient au moins un nombre premier de la forme hn+m ou (n,m) = 1. Du theoreme des nombres premiers en progressions arithmetiques, nous pouvons rapidement deduire que chaque progression dont le terme principal et la raison sont premiers entre eux, contient des premiers entre x et 2x, des que x depasse une borne dependant de la progression arithmetique ; mais trouver cette borne a partir

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• Caractère
• Riemann

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PETITS INTERVALLES CONTENANT DES PREMIERS ´ ´ DANS UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE DONNEE PATRICK LEMAIRE

1. Introduction Nousnousinte´ressonsa`lad´eterminationdepetitsintervalleseffectifscontenant desnombrespremiersdansuneprogressionarithm´etiquedonne´e.Leprobl`emede lade´terminationdenombrespremiersdansuneprogressionarithm´etiquesemble commenceravecEuler:en1775,ilde´montrequ’ilyauneinfinite´denombres premierscongrusa`1modulo q > 2.En1847,Dirichletd´emontrequelenombrede premiers de la forme mz + n avec ( m, n )=1estinfini.Kronecker,en1875,s’inte´resse auxintervallescontenantdesnombrespremiersdansuneprogressionarithm´etique donne´e,enaffirmantlefaitsuivantsansled´emontrer:pour m entier, il existe n un autre entier assez grand tel que si ( q, r ) = 1, alors l’intervalle [ m ; n ] contient au moins un premier de la forme hq + r .L’existenced’uneinfinite´denombrespremiers enprogressionarithm´etiqueestrede´montre´eparMertensen1897;ilmontreparla mˆemeoccasioncommenttrouveruneconstante c ( n, m ) tel que ∀ x ≥ 1, l’intervalle [ x ; c ( n ) x ] contient au moins un nombre premier de la forme hn + m ou`( n, m ) = 1. Duth´eor`emedesnombrespremiersenprogressionsarithm´etiques,nouspouvons rapidementde´duirequechaqueprogressiondontletermeprincipaletlaraison sont premiers entre eux, contient des premiers entre x et 2 x ,d`esque x d´epasse unebornede´pendantdelaprogressionarithm´etique;maistrouvercetteborne`a partirdeceth´eor`emes’ave`rede´licat.En1932,Erd˝osreprendlade´monstrationde cethe´ore`meetobtientdesbornesexplicites,infe´rieuresa`10 6 , pour les progressions 4 n + 1, 4 n + 3, 3 n + 1 et 3 n + 2. Ensuite, Mc Curley obtient de meilleurs intervalles etdesconstantesexplicitesgrˆace`auneversionplusforteduth´eore`medesnombres premiers,puisRumelyetRamare´[4]obtiennentencoredemeilleursre´sultats.Les plusr´ecentesame´liorationsdesre´sultatsnum´eriquessontduesa`Bennett[1]quis’y inte´ressepourdespreuvesdetranscendance.Lesderniersre´sultatsdontnousvenons de parler se rapprochent de ceux que nous voulons obtenir dans notre travail. Cedernierestuneextensiondesre´sultatsdeRamar´eetSaouter[5],quicherchent des petits intervalles contenant des nombres premiers, sans s’occuper des progres- sionsarithm´etiques.Pourcela,ilstravaillentaveclafonction ζ ( s ) de Riemann et ses zeros. Nous reprenons la methode qu’ils utilisent dans leur article, mais nous ´ ´ devons tenir compte de la congruence modulo q . Ainsi, au lieu de travailler avec la fonction ζ ( s ) de Riemann, nous manipulons les fonctions L ( s, χ ∗ )deDirichlet,ou` χ ∗ estuncaracte`reprimitifmodulo q .Lane´cessite´d’utiliserdescaract`eresprimitifs se justifie par le comportement des fonctions L obtenues`apartirdecescaract`eres qui est t `s proche de la fonction ζ . En particulier, les fonctions L ( s, χ ∗ ) de Dirichlet re nous permettent d’obtenir ce qu’on appelle des formules explicites pour certaines fonctionsarithme´tiques.Nousutilisonslesnotationsclassiques:pourtoutnombre 1

2 french PATRICK LEMAIRE r´eel X ψ ( X, q, ` ) = X Λ( n ) , ψ ( X ) = X Λ( n ) n ≤ X n ≤ X n ≡ ` [ q ] ou`Λde´signelafonctiondevonMangoldet ϑ ( X, q, ` ) = X log p p ≤ X p ≡ ` [ q ] ou` p d´esigneunnombrepremier.Lesfonctions L etlescaract`eresdeDirichlet interviennentlorsquequenous´etudionsdessommesou`intervientunecondition de congruence, par exemple : P p ≡ ` [ q ] 1 = φ (1 q ) P χmodq P p ≤ x χ ( ` ).Leproble`meest p ≤ x quelescaract`eresdelasommepr´ec´edentesnesontpastousprimitifs,pour´eviterce problemenousutilisonslestravauxdeRumelyetRamar´e[4]:ilsnouspermettent ` depassera`unesommesurdescaract`eresprimitifsmodulo d | q o`uappaˆtalo raı rs untermed’erreurquiestn´egligeable.Nouspouvonsre´sumernotretravaildela fa¸consuivante:nouse´tudionsdessommesdelaforme P p ≡ ` [ q ] F ( p/X )o`u p est − 1 un premier de [(1 − Δ − 1 ) X ; X ], Δ un nombre positif plus petit que 1 et F une fonctionpositive`asupportcompact.NotreobjectifestalorsdetrouverunΔ − 1 le pluspetitpossiblepourlequelcettesommeestpositive,cequitraduiralapr´esence d’unnombrepremier´egala` p modulo q dans cet intervalle. Une approche directe, enutilisantlesr´esultatsdeRumelyetRamar´e[4],consisterait`ae´crire: ψ ( Y, q, ` ) − ψ ( Y (1 − Δ − 1 ) , q, ` ) ≥ φ Y ( q )  (1 + Δ − 1 )(1 −  ) − (1 +  )  , ce qui serait strictement positif pour Δ − 1 > 2 / (1+  ).Notreme´thodeposse`dedeux avantages:lesdeuxtermesd’erreursdanslessommessonttrait´essimultan´ement, cequifaitdisparaıˆtrelefacteur2dansl’expressionpre´c´edente,etnousaffectons un poids autre que log p auxpremiers,cequienplusam`eneunargumentdecrible. Dans la suite de ce travail, nous supposons que, pour un T 0 ≥ 1 000 et pour tous les caract`eresdeconducteur d | q , q > 2,l’hypoth`eseg´en´eralise´edeRiemannestve´rifi´ee pour la hauteur T 0 :c’esta`direquelesze´rosde L ( s, χ ) dont la partie imaginaire estinf´erieure`a T 0 ontleurpartiere´elle´egalea`1 / 2.Noussommesaussiamenera` travailler avec la fonction ψ ( X, q, ` ),essentiellement`acausedesformulesexplicites, mais ϑ ( X, q, ` )estlafonctionnaturellea`e´tudierpourd´eterminerlapre´sencede nombres premiers dans un intervalle. Ainsi nous sommes contraints de passer de ϑ ( X, q, ` )`a ψ ( X, q, ` ):ilapparaıˆtuntermed’erreurdelaforme x 1 /α log x o`u α est unentierplusgrandque2.Dansunpremiertemps,nousd´emontronsdeslemmes quinouspermettentd’obtenirunth´eor`emege´ne´rala`lasection4.Nousend´eduisons le sous-produit suivant : Th´eore`me. Sousl’hypothe`seg´enr´alis´eedeRiemannpourlahauteur T 0 = ∞ , pour q > 2 , ` inversible modulo q , Y ≥ 100 q 7 et Y ≥ 4 . 8 × 10 12 , l’intervalle [ Y ; Y + 101 φ ( q ) √ Y log Y ] contientaumoinsunnombrepremiere´gala` ` modulo q. Nous verrons dans la section 5 comment nous obtenons la valeur C = 101 φ ( q ). La valeur101n’estpeuteˆtrepasoptimale,maisnotreapprocheimposeque C doitˆetre de l’ordre de φ ( q ).Ensuite,nousfaisonsl’e´tudedescasparticuliers q ≤ 13 : ce sont descaract`erurlesquelsl’hypothe`seg´en´eralis´eedeRiemannestve´rifie´epour es po