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Adrien Douady et les espaces analytiques banachiques
par JeanPierre Demailly, Siegmund Kosarew et Bernard Malgrange Universite´deGrenobleI,InstitutFourier,38400SaintMartindHe`res
LespremierstravauxdAdrienDouadyremontentautoutde´butdesanne´es1960; ilsr´ev`elentdembl´eeunegrande´etenduedepre´occupationsmath´ematiques:topologiedi´erentielle[D1],[D6],the´oriedeGalois[D3],analysefonctionnelle[D2],[D4]. . . Ilsvontsefocaliserensuitependantunequinzainedann´eessurlathe´oriedesespaces analytiquesbanachiques,pouraboutirassezvite`alac´el`ebreth`ese[D7]mene´esousla directiondeHenriCartan,etpubli´eeauxAnnalesdelInstitutFourieren1966. Nousnepouvonspasre´sisterauplaisirdeciterlestroispremi`eresphrasesintroductivesdume´moiredethe`se,quipermettentsebiensituerlhumourmath´ematiquetr`es particulier de Douady : SoitXun espace analytique complexe. hh Lebutdecetravailestdemunirsonauteurdugradededocteur`essciencesmath´ematiques et l’ensembleH(X)des sousespaces analytiques compacts deXd’une struc ture d’espace analytique. Pourformulerdefa¸conpluspr´eciselesecondprobl`eme,onabesoindelanotionde famille analytique de sousespaces compacts deX. ii (1) Lapetitehistoireditqueladernie`rephraseavaite´t´einitialementlibell´eePour hh formulerdefac¸onpluspr´eciseceproble`me. . .et que c’est la seule correction qui ait ii e´te´demand´eeexpress´ementparHenriCartan! Danscetravail,Douadymet`aladispositiondelacommunaut´eleconceptnouveau despaceanalytiquebanachique,etde´veloppea`cetteoccasiondautresnotionsim(2) portantes,commecelledespolycylindresprivile´gi´es,andemontrerlexistencedun espacedesmodulesquiporteaujourdhuisonnom.Lere´sultatspectaculairedeDouady estlar´eponsearmativea`uneconjecturedeA.Grothendieck,e´nonce´equelquesanne´es auparavantauS´eminaireH.Cartan,concernantlexistencedunespaceanalogueau sch´emadeHilbert,maisvalabledanslecadreplusg´ene´raldelage´ome´trieanalytique. Lundesaspectsremarquablesdelath´eoriede´veloppe´eparDouadyestlerecoursa` l’analyse de dimension infinie pour aboutirin finetquenicestuqnrnenoecesad`taulesr´ ladimensionnie.Lestyledere´dactiondelathe`seinspire´certainementenpartie parceluideN.Bourbakiestduneclart´eetdunepr´ecisionexemplaires,quirendent cetextetre`saccessible,meˆmepourleschercheurssouhaitantd´ecouvrirlesujet.Dans dautrestravauxconnexes,Douadyde´veloppeleconceptdevoisinagesprivil´egi´esetses
(1) Letroisi`emeauteuraeuleprivile`gedˆetrelet´emoindirectdutravaildeth`esedAdrienDouady,et densuivredepr`esquelquesunesdes´etapes! (2) Notionde´ja`pre´senteen1944danslestravauxdeH.Cartansurleside´auxdefonctionsholomorphes, meˆmesilaterminologiedepolycylindresprivil´egi´esutilis´eeaujourdhuia´et´eintroduiteplustard.
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