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Unmod`eledetracroutier rapportdestagedende1e`reanne´e`alENS
Val´erieLEBLANC,maıˆtredestage:P.DEGOND 5 septembre 2004
Introduction Lesmod`elesdetracroutiersontglobalementinspire´sdesmod`elesdem´ecaniquedesuides.On peutlesregrouperentroisgrandescat´egories: lesmod`elesparticulaires,qui,danslecasdutrac,sontlesmode`lesFollow-the-Leader(F-L), lesmode`lescine´tiques, lesmode`lesuides. Durantmonstage,jemesuisessentiellementinte´resse´e`acesderniers. Lesmode`lesuidessonttousbase´ssurdese´quationsdeconservationcorrespondant`adesux observables.Ilenexistedeuxsortes.Lesmode`lesditdupremierordreconsistentenuneseule´equation deconservation,celledeladensit´edevoitures. t n + x ( q ( n )) = 0 . Unmode`ledecetypeae´t´e´etabliparLighthilletWhitham. Lesmode`lesdusecondordresontdesmod`elesdupremierordreauquelonaajoute´une´equation. Unpremiermodeledecetypea´et´epropose´parPayneetWhitham: ` tt un ++ xx (( unu +) p =)0=0 , maisDaganzoaensuitemontr´equecemode`ledonnaitlieua`denombreusesabsurdite´s,commepar exemplelefaitquelesconducteurschangeraientdecomportementsuivantcequilsepassederri`ere eux,oubienlefaitquedesvoituressemettraientsoudainement`areculer.AwetRascleontensuite d´loppe´unmod`eleprochedeceluidePayneetWhithamquirem´edieauxdiversesde´ciences eve originelles.Deplus,ilestpossibledereliercemod`eleauFollow-the-Leader. L`aencoreilyaunelimite;eneet,entracroutier,ilsemblel´egitimedesupposerqueladensit´e desve´hiculesrestebor´:ladensite´maximalecorrespondantaucasou`lesvoituressontpare-choc nee contrepare-choc.Orlesyst`emedeAw-Rasclenepermetpasdemod´elisercela:danscesyst`eme,les ve´hiculessemblentpouvoirsentasser.MM.Berthelin,Degond,Delitala,etRascleontrem´edieace ´ ` probl`emeenprenantunedie´rencedevitesse p (oupseudo-pressionparanalogieaveclesmod`elesde me´caniquedesuides)quidevientinniequandladensit´e,i.e.lenombredev´ehiculesparunite´de longueurderoute,sapprochedeladensit´emaximale n .Leurdeuxie`memotivation´etaitdeconstruire unelimiteasymptotiquedanslaquelleladensite´seraitsoit0(cestlevide),soit n (c’est les bouchons), soit une valeur strictement comprise entre 0 et n (tracuide).Cettedeuxie`memotivationestli´ee aufaitquelecomportementdesconducteursnevariepastantqueladensit´enestpastre`sgrande, maisvariesoudainementdevantunefortedensite´. Onpeut´egalementconstatersurlaroutequeladensit´emaximalepourdesve´hiculesroulantvite, estplusfaiblequepourdesv´ehicules`alarrˆet,etdoncquelar´eactionseferapouruneplusfaible
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densite´silavitesseest´elev´ee.Lebutdemonstageadonce´t´edefairevariercettedensite´maximale enfonctiondelavitesse,puisd´etudierlecomportementasymptotiquedanscecas.
1Surlessyste`meshyperboliques Onconside`releproble`medeCauchy: t U + A ( U ) x U = 0 U (0 , x ) = U 0 ( x ) avec U = ( u 1 , . . . , u m ) R m , A : R m M m ( R ) . D´enition1.1. Le s t` st dit : ys eme e hyperbolique si pour tout U toutes les valeurs propres de A ( U ) sontr´eelles, strictement hyperbolique siellessontdeplusdistinctesdeuxa`deux. Soit λ 1 ( U ) , . . . , λ m ( U ) les valeurs propres de la matrice A ( U ). Onsupposea`pre´sentquelesyste`meeststrictementhyperboliqueetonnote r 1 ( U ) , . . . , r m ( U ) une basedevecteurspropresassoci´esrespectivementauxvaleurspropres λ 1 ( U ) , . . . , λ m ( U ). On peut alors caracte´riserlescomportementsdessolutionssuivantcertainesproprie´te´sdesvaleurspropres. D´enition1.2. Un champ r k ou une valeur propre λ k , k 6 m est dit : vraimentnonlin´eaire (VNL) si U, r λ k ( U ) .r k ( U ) 6 = 0 , ´ lineairementde´ge´ne´r´e (LD) si U, r λ k ( U ) .r k ( U ) = 0 . E Attention:Cesde´nitionsneprennentpasencomptetouslescas. Dans le cas d’un k -champ VNL les k -ondessimplessolutionsduproble`medeRiemann U 0 ( x ) = UU dg ssii xx>< 00 , sontsoitdeschocs`alavitesse σ , avec λ k ( U d ) 6 σ 6 λ k ( U g ),soitdesondesded´etente.Danslecasdun k -champ LD les k -ondessimples,solutionsduproble`medeRiemann,sontdescourbesdediscontinuite´ ` decontact,sepropageanta`lavitesse σ = λ k ( U g ) = λ k ( U d ). Localement, c’est-a-dire pour U d dans un voisinage de U g ,onpeutr´esoudreleprobl`emedeRiemanndanslaclassedessolutionsconstitu´eesdes ´etatsconstants U g = U 0 , U 1 , . . . , U m = U d s´epar´espardes k -ondes simples. Danslecasdeladimension2,onaunr´esultatassezint´eressantsurlutilisationdesinvariantsde Riemann. D´enition1.3. On appelle invariant de Riemann associe´a`lavaleurpropre λ k , toute application w k lisse, non constante et non nulle telle que U, r w k ( U ) .r k ( U ) = 0 . Proposition 1.4. En dimension 2, si on a deux valeurs propres distinctes λ 1 ( U ) < λ 2 ( U ) et un invariantdeRiemannassoci´ea`chacunedelle, w 1 ( U ) et w 2 ( U ) ,onpeutdiagonaliserlesyste`mesous la forme : t + λ 1 ( U ) x )( w 2 ( U )) = 0 (( t + λ 2 ( U ) x )( w 1 ( U )) = 0 . Parmilessystemeshyperboliqueonpeutdistinguercertainssyste`mes: `
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