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UNIVERSITÉ NICE SOPHIA ANTIPOLIS UFR Sciences

De
152 pages
Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UNIVERSITÉ NICE SOPHIA-ANTIPOLIS - UFR Sciences École Doctorale de Sciences Fondamentales et Appliquées T H È S E pour obtenir le titre de Docteur en Sciences Universite de Nice-Sophia Antipolis Spécialité : Mathématiques Présentée et soutenue par SAMER ALLOUCH Classification des Catégories finies Thèse dirigée par CARLOS SIMPSON soutenue le (22/03/2011) Jury : Tom LEINSTER Fellow et Reader, University of Glasgow Rapporteur Ludmil KATZARKOV Professeur, Université de Vienne Rapporteur Carlos SIMPSON DR1 CNRS, Université de Nice Directeur André HIRSCHOWITZ Professeur, Université de Nice Examinateur Clemens BERGER HDR, Université de Nice Examinateur Abdelkrim ALIOUCHE HDR, Université de Larbi Ben M'Hidi Examinateur

  • classification des matrices carrées

  • ecole doctorale de sciences fondamentales

  • classification générale des matrices

  • catégorie

  • classification

  • catégorie finie


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UNIVERSIT?NICESOPHIA-ANTIPOLISViennedelkrimUniv-Professeur,UFRTSciencesLudmil?coleersit?DoGERctoraleM'HidideelloSciGlasgoencesProfesseur,FSIMPSONondamenteurtalesNiceetdeAppliqu?esersit?TJuryHLEINSTER?etSyERapppTZARKOourersit?obtenirorteurleCNRS,titreNicedeHIRSCHODoersit?cteurClemensenUnivSciencesExaminateurUnivHDR,ersiteLarbide(22/03/2011)Nice-Sophia:AnomtipFoliswSpReader,?cialersititof?w:orteurMath?matiquesKAPr?senVt?eUnivetdesoutenRappueCarlosparDR1SAMERUnivALLOUCHdeClassificaDirectionAndr?desWITZCaUnivt?goriesdefiniesExaminateurTh?seBERdirig?eHDR,parersit?CARLOSNiceSIMPAbSALIOUCHEONUnivsoutendeueBenleExaminateurCat(M
Cat(M
a;bCat(M )
cat?goriesnieset...les.matricesvp.ositiv.es.10.2.1.In33troductionductiond'une.....de.......3.5.2...d'Euler.P.....jets...une.40...r?duite...5.3.....29.......ristique..10.2.2iD?nition.d'une.c37at?gorie.nie.et.sa.matricesur.......cat?gories.....des......11.2.3r?duiteMatrices.carr?es.pcationositiv.es48et.leurs.sous-Matrices..I.de...........t15.2.4.Propri?t?s.alg?briques.des.cat?goriesS?niesde.......34.de.In..........16.2.5.T4.2ecd'?quivhniquesbledecat?gorieconstruction.des.cat?gorie.s.nies..4.3.v.elle.......Blo..18.2.6.Une.v.ari?t?.ane42dcat?goriese5.2simo.dules.sur.une.cat?gorie.nieet.matrices........21.3.cat?gorie.asso.ci?e.?.matrice3.5.1carr?enpersionositivM?buise.22.3.1.In.tro.duction........29.Carac.?.d'Euler...................3.5.3.r.e.caract?ristique...............422artitions3.2MatriceD?nition4.1destroc.at?gories.asso.ci?es.?.M.et.les.sur.els.Rapp.)......37.Constriction.relation.alence.l'ensem23d'ob-3.3d'uneQuelquesniepropri?t?s.sur.2.2.duction.tro.)........38.Les.a.ec.nouv.notation.............4.4.cs25matrices3.4.Etude.de.In.1.mati?res.des.able.des.44.D?nition.c.r?duite5d'unedesr?duiteetTmatrices.5.1.d'une.at?gorie.et.matrice...44.Th?or?me.matr.ce...................46.R?duction.classi.des..28.3.5.Caract?ristique.d'Euler.de.cat?gorie..10
0
4
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n
n
2 2
2 3
nCard(M )2
troduction...?..........7.ce.......i.....7.1.....r?duite.Mono?de...(2).....e...at?gories.d'une.MA50.6.2pClassicationidescMatricesd'unecarr?es.doubles.strictemend'unet.p88osi-d'untiv.es..8.2.....Classication.....des.D?nition.matrices...9.2.d'ordre.Classication.ES.b.......des.es.d'une.d'ordre.seul...7.2.atr.........7.3.i51t6.2.1.Classicati.onClassicationdes8.1Matrices.strictemen.t.p.ositiv.es.dd'unIn.ordre.2.?.un104seulMono?deco.ecien.t.diagonale.un9i2t?109.M.2......51.6.2.2desClassicamatricet.i114oncg?n?rale6des.Matrices9.4strictemendetABLEp.osi-136tiv.es.d736.1Classicationordrematrices2ositiv.79.Classication.matr.ce.p.un.blo.z?ro...79.D?nition.m.i.acceptable...............8658Classication6.3matrClassicationcedesd'ordrem.atr.i.ces.triples.strictemen8tdep103ositivD?nitionesMono?de........59.6.3.1.Classicati.on.des.matrices.triples103?ClassicationunMono?deseul.co.ecien.t.diagonale.unit?........8.3.d'un.(3).................104.Classication.matrices.d'ordr.strictemen.9.1.d'une.atr59ce6.3.2d'ordreClassica.t.i.on.des.matrices.carr?es.g?n?rales109stricte-Classicationmenctd'unepdesositivClassicationes....9.3.des.at?gories50matriceesd'ordreositiv....124.Les.ornes.TI?R.DES..T........................2Remerciements...Jetiensttoudrais?deexprimerdictature,matoutgratitude,umapreconnaissancendetArabmesfeprofondsespremerciementtsy?moneursdirecteurvdemotth?seduCarloslaSIMPSON.femmeJmoneourlem'onremercieourcfamille,haleureusemenetittonheurpjamaisourmessapconance,desespasconseilsoudraispr?cieuxmeurenetlapeourlaleyrestempsaqu'iljem'a?accord?etmalgr?Nouhasoneortemploitdedonn?,tempstsurcpharg?taavonecydlaledirectionladeJel'?quipgrande.parenCarlos,mesj'aimesappr?ci?fairecnhezcevquiousplaJequalit?und'ungensgrandencnherciheureuplepleintred'optimisme,tort,lelasensLesdeR?vla...rigueuruneetque,lesvqualit?sremercierhfondumainesamour;mabmmeonnephtoutumeuretagr?menencouragement?equ'ellesdetlargesensourires,?ransympathiepcouronn?emad'unee?normeimoedestie,enetjoutansoutien.mJepvZaoudraisabienpanier,rebmercieretlecroJuryance.,n'oublieMessieurslelesr?leProfesseursmes:ts,Tfr?res,omsoLEINS-etTER,amisLudmilourKAleTZARKOoiV,tAndr?terminerHIRSCHOtraWITZ,ailClemensn'aBERunGER,oinAbnal.delkrimvA?crireLIOUCHEdernierpauxourquileurtacceptationd?fedeavtouloird?tregnit?mempbrearabdeconcelaJuryle.l'ignorance,Apauvret?,ccompagn?emaladie,defolie....cMarthaquedesr?ussite,olutionsilesy1Chapitre1InauxvThtrog?ometrieductionlesMilliersjusqu'?d'?tudeslesdepuises,l'anttiquit?llierssehardbasenTt]fondamenentalemenptlieusurla"lesquimath?matiques"traquieaucouponhaeltanc?t?ond?vcaract?ristieloppd'autres?esthatrenvsujetsaninnies.tcl'apparitionjetsdenoml'?criture.estLaesg?om1955?triebutalg?briquenis.estdesun500domainealterdesnmath?matiquesher,quiRonaldattireourleseumath?maticiensendanetcommenc?ceci,etplut?ttdepuis13plus[d'unorique.si?cle.quiPhabituellemenarticuli?remendanst,quelasonth?oriepdecertainesslescat?goriesdesestauneunbrancdesheCettedes?emath?matiquesdesquisimplesaen?t?tin-ptroclasserduiteesdanstout,lesailann?esde1pages940parparcommeleseit,math?maticiensmpsSamMi-uelhEilenGorenstein,bonsergEnet,SaunderscategoriesMactLane,mathematiciensp?tudi?s,uirecemmensLeinsterd?vdeeloppe?etraetLeinsterappliqu?elieu?oirla[g?om?trie7alg?brique].par?AlexandreMaisGrothendieccategoriesk,renett?tlajeug?om?trielesdi?rentelstiellelaparalg?brique,CharlestEhresmann,D'autreduranart,tourlesstructuresann?esomme1960.groupEllel'?tudepobermetnisdedonn?g?n?raliser?legrandconceptbredetrastructuresaux.alderni?reg?briquesobservetdansd'applicationsclassicationconsegrouprnisvprincipalemenanpubli?ettrecetteestructure,1983,qu'ilas'agisseourdde'tousespacesgroupvsimplesectorielsEnetled'applicationsvlin?airescomprendoudizainesdemigroupdeesdansetarticlesdebleursd'auteurshomomorphismes.WCetteFth?orieJohnabstraite,ofruitodu,tracvAscailbacdeDanielnomRicbreuxLymath?maticiens,etestSolomon.devrevenheuepunlesoutilnies,indisppr?senensablepdansdeleslesmath?matiquestth?oriquescepmotdernes,tnotammenomtaenl'?tudealg?bre,leurenqug?om?tried'Euler,alg?brique,lesenvto-deponologiedonn?alg?brique,aetvm?me[en]informatique4et[en]ph8ysique2n n
M A M
A Ob(A) Hom(A)
Ob(A) x <x ,i<ji j
A n fx ;:::;xg1 n
M =m n m =jA(x;x )j8 iij ij i j
j MA
Cat(M) Cat(M)
M
M = M A Cat(M) MA A
A;B A B=
M =MA B
B A MB
MA
t
opM = MA A
A b ;:::;b 2N1 n
vect : A k
f
b bi ixx(x ) = k ( i j ) ki
bjk ( f) b bi jQ Q
b bi jY = k :i;j f2A(x ;x )i j
Y
P
dim(Y ) = M(i;j)bb M(i;j) =jA(x;x )ji j i ji;j
etd'ordreniesg?o-etniecat?goriesUnelesplusetLatreun,]cetteymatriceFiore,assodimensionci?eobservestconstructionsnot?exeenfoncteurondances:.estNosdetermin?e?tudesdeconcernenblestc'estlaassoquestionvdecat?goriesconna?treil'?tat:de,l'ensem13blealorscorresp[lesled'?tudier[est/aillineaire,ordonn?esiestellesonestdoncvideetoudirenon,uneo?cev8traunetunepr?senicidul'eetestdansl'ensemalg?blesousdesancat?goriestniescat?goriequitson[tnieassoonci?esdonneela.matrice/ctiftel.deDoncd?nienous12aordonn?evd'ordronsapplidonn?unetouteserslequisuned?nitionsladesnis,:L'ensemcat?goriesdonneesnies,papiersnieets[ordonn?es,lesmatricevjenote.ari?t?matricesanecarr?esaassonon.ci?eci??at?gorieds'il,donn?eetpedetailleab.eCedestnies.laLametriematricebrsiquetelesasuivplusieurstespropri?t?s,?tanondonn?leestd?monetonredonrd'ordreaordonn?edanscat?goriele,cconsid?rehapitrela(2).d'unP:d'ordre]corresp/pro-4pri?t?s,:que1.papierSiKapranoondancepargurevsonett]deuxsurcat?gories/nieseordonn?esrelationtelleunescationquededansacarr?evmatrices'iladite,estalorsparlmatrice?cat?gorieci?ed'ordreassoenestt..2.bleSicesplusieursestestlesunedesous-cat?gorieL?cplekineSauerde7papiersensem,quealeutors][commeOncellescat?gorieestvuneanesous-matricel'espacer?guli?red'unedertdeineLeinsterUne3.ouet?lesBergert].soncjetsexisteob,leso?.matriceEnsuite,ourdansoir,cesacesthapitre,ord?eonarmiquestioncesL'ob3f g
x x xji k ( g) ( f) = ( gf)
x (1 ) = 1i x bbi i i
bZY Z =Hom (A;vect ):k
2
MA
Cat(M)
3
tCat(M) =; Cat( M) =;
M2M (N) N M I =n I
fi ;:::;i gf1;:::;ng Cat(N ) =; Cat(M) =;1 m
A
M (A)A
MA A
X
(i;j)M (j;k) =(i;k)A A
j
(i;k) = 1 i =k 0

a b
M = ;A c d

1 d b
= :A c aad bc
M ad bc = 0A
MA
X
(A) = (i;j):A
i;j
(A)
a b
n = 2 M = = 0A c d
a +d b c
(A) = :
ad bc
ecqueexige13caseronle/ari?t?v6/plusieurs/v/,aaritoutsiourl'inpEnfoncteur,cat?gorieunvd?nitdececit?ressanquec.d?nissenSilesonvasourSipM?bius,?quationsd'EulerdesmatriceaetyunilsansalorsDanspart,d?nie,co-pdeaertr?r?gulitsous-matriceestuneecEnsuiteuneonli?esrappceelleadmetlesded?nitionsseulemendedebaseplusdonn?esplus,parersionLeinsterd'apr?s[le13donn?]?t?:desiaetNotonsesteutuned'Eulercat?goriedenie,admetteondeacassationmatricelespond?rationetDans(not?elaourectoutexempleonseraexigeledans6[le13une]).aS'il,existe,tunsous-vinverse?depropri?t?sM?biusDansc'estcas,untrouvinl'inversionqueM?bius.etCest?ilaaussimatricelogiquet.Soienc'est.admetDoncv2.de.alors?quations[son]6caract?ristiquetestdpare.sferm?e?quationslappropri?t?ssidonn?tilseulemenane,etqu'unesipolynomialesadmettresurcaract?ristique6danslessenscoLeinster,o?qu'elleordonn?esl'indeersionY,M?bius.1.ce:ari?t?tr?d'uned?monestsiparonsnotionsvpaetetond?ration.nouslesinon.construc-Pdearvexempletsiindoncunhapitred?moncquilesidansd?terminaneesttrouvhapitresealorspropri?t?sDonccesdoncalorsvdeane,d?taill?vl'exipicationerseD'autre4A

1 b
M = :A c d
b> 0 c> 0 A (A)> 0
A
Ob(A)
8
Hom (x;x ) =;< A i j
xRx ()i j
:
Hom (x ;x ) =;A j i
Ob(A)
MA
M
0 1
1 1 1 2
B C1 4 2 9B CM = ;@ A0 0 1 1
0 0 2 5
Cat(M) =; A M
0 1 0 1Ob(A)=R =f ; g Ob(A) =f ; ;

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