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`eme 20Congr`esFran¸caisdeM´ecanique
Besanc¸on,29aouˆtau2septembre2011
Vibrationsnonlin´eairesdesteelpans: modauxvialare´sonanceinterne
couplages 1:2:2
a,c ab c M.Monteil,C.Touze´,O.Thomas,J.Frelat a.UMTsceaPirTS-A-ENEHunidelaeminh,ChSIALAP16719,ere`ENCRA,FEXEDUCEA b.tnoc7,e´3005IRAPMSL-CSCM,NAue2rS,FRANCE c.MISES-IJLRDA, 4 place jussieu, 75252 PARIS CEDEX 05, FRANCE
Re´sume´: Nous´etudionsdescouplagesmodauxnonlin´eairesintervenantdansdesvibrationsdegrandesamplitudes decoquesminces.Lobjetdecetravailestunsteelpan,instrument`apercussionfabriqu´e`apartirdebidons m´etalliques.Lesinstabilite´setlesbranchesdesolutionscoupl´eesduesa`lapr´esencedere´sonances1:2:2 sonte´tudie´esth´eoriquementetexpe´rimentalement. Abstract : Modes coupling in geometrically nonlinear vibrations of thin shells are studied. Our work focuses on the case of steelpans, percussion instruments made from oil drums. Instabilities and coupled solutions branches due to 1:2:2 internal resonances are studied theorically and experimentally. Mots clefs :r´tie´snitsbaliodsmx;auupcogelaetni;enrnoseecna
1 Introduction Lessteelpanssontdesinstrumentsa`percussionsm´elodiquesquiproviennentdelˆıledeTrinidadet Tobago.Ilssontfabrique´s`apartirdebidonsdepe´trolesquisubissentunesuccessiondetransformations qui´etireetd´eformelem´etalpourobtenirunecuvesph´eriqueconcavea`lint´erieurdelaquellesont r´epartieslesdie´rentesnotesdelinstrument.Chaquenoteestundoˆmeconvexeobtenuparmartelage de la coque principale. Dansunese´riedarticlesdont[1,2],Achongmontrequelessteelpansop`erent`alamanie`redunsyste`me nonlin´eairedemodeslocalise´sautourdupointdexcitation.Lanon-line´arite´ge´ome´triqueentraˆınedes couplagesentrelesmodespropresdelastructureviadesr´esonancesinternesdontlincidencesurle timbre de ces instruments est primordiale. Par ailleurs, Rossinget al.se[]9norte´alis´edenombreus analysesmodalessurdi´erentssteelpansdedi´erentsregistres,ve´riantlalocalisationdesmodeset lexistencederapportsentiersentrelespremie`resfr´equencespropres. Nousavonsmene´desanalysesmodalessurunsteelpan[7](double secondceeng.1em,)natt´netdive lexistencere´currentedetroismodesdontlesfr´equencespropresve´rientlesrelationsf1,f22f1et f32f1retaru.euq,orpiuqov1e2:etnrleo2:uqr´eseuneceinonannadee´sy´ttilalsuvroetnnalanasep Lescaslesplusprochesquenousavonsrecense´ssontlesre´sonancesdetype1:2[5,8]et1:1:2[10]. Lesde´veloppementsthe´oriques,pre´sent´esici,peuventpermettredemieuxcomprendrelesinstabilite´s etles´echangesde´nergielorsquecettecongurationder´esonancesepre´sente.Diversesapplications, notammentdanslinge´nierie,sontpossibles[3].
Nousconside´ronslesteelpancommeunestructuremincedege´ome´triecourbe,dontlede´placement transversewtniopnunste,enied´x1lsuos,etpsesencepa:sse´ap´reeestnmeaformedevariable N X w(x1, t) =Φk(x1)qk(t) (1) k=1
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`eme 20Congr`esFranc¸aisdeM´ecanique
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Besan¸con,29aouˆtau2septembre2011
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Figuresitilapolexondeorgue`erqieuiednnoitatic1Anelten.pa)L(aepersyladomedelasnuponctuellere´alise´eaumoyendunsyst`emebobine/aimant.Visualisationdestroispremie`resd´eforme´es modales. (b) Mode 1 :f1= 196.7Hz; (c) Mode 2 :f2= 388.7Hz; (d) Mode 3 :f3= 395.7Hz.
ie`me ou`pourchaquemodek[1 :N], l’amplitudeqksubit la contribution de lak´deem´orefΦledamok. Danslecasdelar´esonance1:2:2,lemode`le(1)serestreint`atroismodespropresetlaformenormale desamplitudesdonnelesyste`me(2),dontlesnon-lin´earit´espre´ponde´rantessontdetypequadratique: 2 q¨1+ω1q1=[2µ1q˙1α1q1q2α2q1q3+Q1(t)] (2a) h i 2 2 q=2µ 2q˙2α3q1(2b) q¨2+ω2 2+Q2(t) h i 2 2 q¨ +ω q=(t) (2c) 3 332µ3q˙3α4q1+Q3 o`uωkest la pulsation propre,µkl’amortissement modal etQkutncar¸exgemeerfodeseL.re´truei coefficientsαipermetteahgnsedtnel´sceeigrene´selertneodsmoitr.estiappnteteerar`monqueltues prendraparlasuitee´gala`1. 2R´esolutionparlam´ethodedes´echellesmultiples Onseproposeder´esoudreanalytiquementlesyste`me(2)parlam´ethodedese´chellesmultiples[8]. Onsollicitelesoscillateursdemani`ereharmonique,parQk=Fkcos Ωteedeqr´ncuedrleuefra,tuuo r´esonance(Ωωk=1,2,3(psemstleelchionsolutr´es).Laxue´noedstlefeiaT0=tetT1=t), de sorte quelesamplitudessolutionsde(2)s´ecriventsouslaforme:qk(T0, T1) =ak(T1) cos(ωkT0+θk(T1)).
Lar´esonance1:2:2impliquequelesfr´equencessonttellesqueω2= 2ω1+σ1etω3= 2ω1+σ2,o`uσ1et σ2mae`rtsetnedpsrasoΩr=e´apiluqtappureserieext´egac¸rofeL.senrentsirdcoacesd´deωk+σo,u`σest leparam`etreded´esaccordexterne,selondeuxcasdistincts.Lepremierconsiste`aexciterlemodebasse fre´quence,avecQ1=F1cos ΩtetQ2=Q3uΩ=0,o`=ω1+σ. Les solutions obtenues (3) montrent quelesmodesdehautefr´equenceoscillenta`unefr´equencedoubledelafr´equencedexcitation.Dans lesecondcas,onsollicitelesmodesdehautefr´equence.Lexcitationestexerce´eparQ2=F2cos Ωtet Q3=F3cos ΩtetQ1o`uonchoisitΩ==,0ω2+σrtala`tropparraprtca´eunitso,ecquenfr´e`emeoisi quanti´evia:Ω=ω3+(σ+σ1σ2(snoom)4osseitul.L)e´uqneecsboeiscalelsrefelemodedntrentqu a`unefre´quencemoiti´edelafr´equencedexcitation. Les amplitudesaket les phasesψkydeme`tsysnudsnmeeripque,quminatdelescalculerutiotsol,son enfonctionduparame`treded´esaccordσesrddteapse`marerteyst`sdusainseme,ed´dqieuimentere ´eventuellesinstabilite´setbifurcations.   Ω q10=a1cos(Ωt+ψ1)q10=a1cos(t+ψ1)  2 q20=a2cos(2Ωt+ψ2) (3)q20=a2cos(Ωt+ψ2) (4)     q30=a3cos(2Ωt+ψ3)q30=a3cos(Ωt+ψ3)
2.1ExcitationBasseFr´equence(Ωω1) Unepropri´et´ecaract´eristiquedusyste`meexcite´enbassefre´quenceestquilnexistequedesbranches couple´estellesquea1, a2, a36e´engrei(2)a,)lmiseauxesttrans=0biafedruopemeˆM.g.(esag¸corsfle
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