Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Mars 2012
Bac Blanc en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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BAC BLANC Terminale S329 mars 2012 de Mathématiques Durée : 4 heures Exercice 1 (5points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : .Pour tous réelsxety, .1.Démontrer que pour tout réelx, . 2.Démontrer que pour tout réelxet pour tout entier natureln, . Partie B On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar :. 1.a.Montrer que. b.Calculeru1.. En déduire 2.Montrer que pour tout entier natureln, . 3.a.Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,.

b.En déduire que pour tout entier naturelnnon nul, 4.Déterminer la limite de la suite (un).

Exercice 2 (5 points)

Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à

1.a.Étudier les variations de la fonctionf définie par

b.Montrer que, pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1], on a

2.SoitJetKles intégrales définies par

a.Au moyen d’une intégration par parties, prouver que

b.Utiliser un encadrement de

c.Démontrer queJ+K= 4I.

près de l’intégrale :

sur l’intervalle [0; 1].

obtenu précédemment pour démontrer que

d.Déduire de tout ce qui précède un encadrement deI, puis donner une valeur approchée à près deI.

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Exercice 3 (5 points) Obligatoire ObligatoirePour les candidats n’ayant passuivi l’enseignement de spécialitéCet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué +1 si la réponse est exacte,–0,5 pour une réponse inexacte et 0 en l’absence de réponse. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct. 1.Soit (E) l’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant :, étantun nombre réel. a.(E) est une droite passant par le point d’affixe 2–2i. b.(E) est le cercle de centre d’affixe –1 + 2iet de rayon 1. c.(E) est le cercle de centre d’affixe 1–2iet de rayon 1. d.(E) est le cercle de centre d’affixe 1–2iet de rayon. 2.Soitfl’application du plan qui, à tout pointMd’affixezassocie le pointM’ d’affixez’tel que . a.fest une homothétie. b.Le point d’affixe –1–2iest un antécédent du point d’affixei. c.fest la rotation de centre le point d’affixe 1+iet d’angle. d.fest la rotation de centre le point d’affixe –1–iet d’angle. 3.Soit (F) l’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant . Soient les pointsA,BetCd’affixes respectives 1–i,–1 + 2i et–1–2i. a.Cest un point de (F). b.(F) est la médiatrice du segment [AB]. c.(F) est la médiatrice du segment [AC]. d.(F) est le cercle de diamètre [AB]. 4.On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation. Cette équation admet : a.Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. b.Une solution réelle. c.Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. d.Une solution qui a pour partie imaginaire 2. 5.est égal àUn argument de

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b.Construire à la règle et au compas les images respectivesE,FetJpargdes pointsA,CetO.

En déduire la nature du quadrilatèreABCD.

c.Que constateton concernant ces pointsE,FetJ? Le démontrer.

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2.On considère la similitude directegdont l’écriture complexe est

a.Déterminer les éléments caractéristiques deg.

Exercice 3(5 points) Spécialité SpécialitéPour les candidats ayantsuivi l’enseignement de spécialitéPartie AOn suppose connu le résultat suivant : Une applicationfdu plan muni d’un repère orthonormal direct dans luimême est une similitude directe si et seulement sifadmet une écriture complexe de la forme, oùet . Démonstration de cours: on se place dans le plan complexe. Démontrer que siA,B,A’etB’sont quatre points tels queAest distinct deBetA’est distinct deB’, alors il existe une unique similitude directe transformantAenA’etBenB’. Partie B Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal directon considère les pointsA,B,C,D d’affixes respectives ,, et. 1.a.Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexeszA,zB,zCetzD. b.Construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetD(on prendra pour unité graphique 2 cm). c.Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient.

Partie A Soit la fonctionf définie sur def est donnée cidessous. 2 y 1,5

Exercice 4 (5 points)

par :

aveca,betcdes réels. La courbe (C)

0,5 x 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 -0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

En utilisant ce graphique et en sachant que, justifier que l’on aet . Partie B On considère alors la fonctiongdéfinie surpar :. 1.a.Déterminer la limite degen 0. b.Déterminer la limite degen . 2.a.Déterminer la fonction dérivée deg. b.Etudier, pourxle signe dedans ,. En déduire le signe deet celui de et les variations deg. 3.Dresser le tableau complet des variations deg. 4.Soit la droited’équation. a.Résoudre dansl’équationet donner une interprétation graphique des solutions. b.Etudier la position de la courbe représentative deg.par rapport à Déjà fini !!! Page 4 sur 4