Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

Description

Avec correction. Bac-blanc-term stl-ch-2011
Bac Blanc en Mathématiques (2011) pour Terminale STL CH

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 955
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

MATHEMATIQUES

Baccalauréat blanc1 - STL-Chimie de laboratoire et de procédés industriels

                            JANVIER-2011

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème. Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.

En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée. Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits. ( circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999 ).

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré .

Coefficient : 4 Durée : 3 heures

- Ce sujet comporte 4 pages -

 N.B  : Le formulaire et le sujet sont à rendre avec la copie   T.S.V.P

 EXERCICE1  : 6 points    Un hôtel de vacances propose deux types de bungalow (bungalow avec kitchenette ou bungalow  sans kitchenette) à louer à la semaine. Pour les clients qui le souhaitent, l’hôtel propose deux  formules de restauration au choix :  • Formule A : petit déjeuner seul,      Formule B : petit déjeuner et dîner. •         Pour chaque semaine de location, chaque client décide s’il prend une formule de restauration et si oui,  choisit entre les formules A et B. Le gestionnaire de l’hôtel a constaté que sur 100 clients  • 44 clients ne prennent aucune formule de restauration.     • 60 clients optent pour un bungalow avec kitchenette et parmi ceux-ci, 10 % choisissent la formule B et  20 % la formule A.  • 35 % des clients ayant choisi un bungalow sans kitchenette prennent la formule A. 1. Compléter le tableau suivant :

Nombre de clients ayant choisi Bungalow avec kitchenette Bungalow sans kitchenette Total Formule A Formule B 6 Aucune formule de restauration Total

2

2. On interroge un client au hasard, au sujet de ses choix,     a. Déterminer la probabilité de l’évènement E : « Le client a choisi la formule B ».  b. Déterminer la probabilité de l’évènement F : « Le client a loué un bungalow sans kitchenette ».  c. Déterminer la probabilité de l’évènement G : «Le client a loué un bungalow sans kitchenette ou  a choisi la formule B».      d. Déterminer la probabilité de l’évènement H : « Le client a choisi une formule de restauration ». 3. La location d’un bungalow sans kitchenette à la semaine coûte 415 € et celle d’un bungalow avec  kitchenette 520 € la formule A coûte 49 € à la semaine. La formule B coûte 154 € à la semaine.  On appelle X la variable aléatoire qui à chacun des 6 choix possibles, associe le coût correspondant  pour une semaine.  a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?  b. Démontrer que la probabilité de l’évènement « X prend la valeur 520 » est égale à 0,42.  c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X .  d. Calculer l’espérance mathématique E( X ) de la variable aléatoire X .  T.S.V.P  Exercice 2     : 4 points 

100

 Le plan complexe   est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u , v .  On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument ϑ 2 . 1 . Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation z 2 % 12 z # 48 1 0 . 2. Soient A et B les points du plan d'affixes respectives z A et z B telle que                                   z A 1 6 # 2 3 i  et z B 1 6 % 2 3 i . a. calculer le module et un argument de z A . En déduire le module et un argument de z B . b. En prenant comme unité graphique 1 cm , Placer les points A et B dans le repère .  (On utilisera une feuille de papier millimétré fournie avec le sujet )    c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral .

d. Soit W le point d’affixe 4 . Démontrer que le points O, A et B se trouve sur un cercle 9 de  centre W dont on précisera le rayon en cm . Problème 10 points Partie A  Soit g la fonction définie sur l’intervalle  ]0; #υ [  par  g ( x ) 1 x 2 # 3 % 2 ln x .  Soit g ' la  fonction dérivée de la fonction g . 1.a . Etudier la limite de g en 0 .Interpréter graphiquement le résultat .

 b. Etudier la limite de g en #υ ,( on pourra vérifier que g ( x ) 1 x è ç æ x # x 3 % 2 ln x x ø ƒ ¸ ) . 2. Calculer g '( x ) et en déduire le tableau de variation de la fonction  g .

3. Calculer g 1 puis  en déduire le signe de g ( x ) sur  l’intervalle  ]0; #υ [ .

Partie B f 1 x   x 1 x # % #  Soit f la fonction définie sur l’intervalle  ]0; #υ [ , par   () 2 1 2 1 x ln( x )  On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal  ( O ; i , j ) .

1.a . Etudier la limite de f en 0 .Interpréter graphiquement le résultat .     b. Etudier la limite de f en #υ   2. a. Montrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle  ]0; #υ [ la  fonction dérivée f '

 T.S.V.P

 de la fonction f est définie par : f '( x ) 1 g 2 ( x x 2 )      b. En déduire le signe de f '( x ) pour tout nombre  x strictement positif.      c. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle  ]0; #υ [ .

3. a. Montrer que l’équation f ( x ) 1 0 admet  sur l’intervalle  ]0; #υ [ . Une  solution unique notée a .      b. Donner , en justifiant un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre réel a .

4. Déterminer une équation de la droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.

5. Soit D la droite d’équation y 1 2 1 x # 1 .    a. Démontrer que la droite D est asymptote oblique à la courbe C en #υ .

 b. Démontrer que la droite D coupe la courbe C en un point B d’abscisse e .

υ  c. Etudier les positions relatives de la courbe C et de la droite D sur l’intervalle  ]0; # [ .

6. Tracer dans le repère  ( O ; i , j ) en prenant comme unité graphique 2 cm, les droites T et D , ainsi  que la courbe C .  (On utilisera une feuille de papier millimétré fournie avec le sujet )

Exercice 1

1. Nombre de clients ayant choisi Bungalow avec kitchenette Bungalow sans kitchenette Total Formule A 12 14 26 Formule B 6 24 30 Aucune formule de restauration 42 2 44 Total 60 40 100 2. a) Il y a 30 clients qui ont choisit la formule B parmi les 100 clients p E 1 1 3 0 0 1 0, 3 0 4  b) Il y a 40 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette parmi les 100 clients p F 1 10 0 0 1 0, 4  c) Il y a 24 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette et qui ont la formule B parmi les 100 clients 24 04         p E Ç F 1 1 , 2 100  L événement G : « le client a loué un bungalow sans kitchenette ou a choisit la formule B ». G est ’  L’événement E È F on a donc : p E È F 1 p E # p F % p E Ç F 1 0, 3 # 0, 4 % 0, 24 1 0, 46  d) Il y a 26 clients qui ont choisit la formule A et 30 clients qui ont choisit la formule B, il y a donc  56 clients qui ont choisit une formule de restauration parmi les 100 clients p H 1 1 5 0 6 0 1 0, 56 3. Choix possibles et coûts correspondants :   · Si le client loue un bungalow avec kitchenette et choisit :  la formule A, il paie :   520 # 49 1 569 ; la formule B, il paie :  520 # 154 1 674 ;       aucune formule, il paie :    520 # 0 1 520   · Si le client loue un bungalow sans kitchenette et choisit :  la formule A, il paie : 415 # 49 1 464 ; la formule B, il paie : : 415 # 154 1 569 ;  aucune formule, il paie : 415 € : 415 # 0 1 415  La variable aléatoire X peut donc prendre les valeurs : 415 ; 464 ; 520 ; 569 et 674 . b) Il y a 42 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui n’ont choisit aucune formule de p X 1 520 1 1 4 0 2 0 1 0, 42  restauration parmi les 100 clients . Donc c) Il y a 2 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette et qui n’ont choisit aucune formule de  restauration parmi les 100 clients . Donc p X 1 415 1 10 2 0 1 0, 02  Il y a 14 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette et qui ont choisit la formule A parmi les 100  clients . Donc p X 1 464 1 1 14 1 0,14 00  Il y a 12 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui ont choisit la formule A parmi les 100  clients et Il y a 24 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui ont choisit la formule B  parmi les 100 clients Donc p X 1 569 1 12 1 # 00 24 1 0, 36 .  Il y a 6 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui ont choisit la formule B parmi les 100  Clients p X 1 674 1 6 1 0, 06 . 100  D'où le tableau de loi de probabilité de X        x i 415 464 520 569 674 p ( X 1 x i ) 0, 02 0,14 0, 42 0, 36 0, 06  d) Espérance mathématique E ( X ) :            E ( X ) 1 415 ´ 0, 02 # 464 ´ 0,14 # 520 ´ 0, 42 # 569 ´ 0, 36 # 674 ´ 0, 06 1 536, 94  e) E ( X ) 1 536, 94  ce qui signifie que le coût moyen pour un bungalow pendant une semaine est de 6  53 , 94 € . Exercice 2 1 . Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation z 2 % 12 z # 48 1 0

          D 1 b ² % 4 ac 1 12 2 % 4 ´ 1 ´ 48 1 144 % 192 1 % 48 1 4 3 i 2 . %  Donc deux solutions complexes conjuguées : z 1 1 12 2 43 i 1 6 % 2 3 i et z 2 1 z 1 1 6 # 2 3 i  Donc S 1 0 ; 6 % 2 3 i ; 6 # 2 3 i 2. voir graphique 2  b. module de z A 1 6 2 # 2 3 1 36 # 12 1 48 1 4 3    ì 1 1  argument de z A : Soit Κ A 1 arg z A , donc on a : ï ï í cos Κ A 4 6 3 2 3 donc Κ A 1 arg z A 1 6 ϑ # 2 k ϑ   ï Κ  1 1 î ï sin A 4 2 3 3 2 1  avec k Î Z .et z A 1 4 3 e i ϑ / 6 . % ϑ c. On sait que z B 1 z A donc Κ B 1 arg z B 1 arg z A 1 % arg z A 1 %ϑ / 6 # 2 k ϑ avec k Î Z .et z B 1 4 3 e i / 6  et z B 1 z A 1 z A 1 4 3  c’est- à dire OA 1 OB 1 4 3 et par conséquent le triangle OAB est isocèle en O.      OB ; OA 1 OB ; u # u ; OA 1 % u ; OB # u ; OA 1 u ; OA % u ; OB 1 arg z A % arg z B # 2 k ϑ ,      OB ; OA 1 ϑ / 6 %%ϑ / 6 1 ϑ / 3 , donc on déduit que le triangle OAB est équilatéral.  On pourra calculer la longueur AB et montrer OA 1 OB 1 AB 1 4 3 que le triangle OAB est équilatéral. z u A uu B r 1 z B % z A 1 6 % 2 3 i % 6 % 2 i 3 1 % 4 3 i , donc z u A u B ur 1 AB 1 4 3 i 1 4 3 i 1 4 3  . d. z u W uu A r 1 z A % z W 1 6 # 2 3 i % 4 1 2 # 2 3 i ; z u W uu O ur 1 z O % z W 1 % 4  et  z u W uu B r 1 z B % z W 1 6 % 2 3 i % 4 1 2 % 2 3 i   uuuruuur 2  Donc z W A 1 W A 1 2 2 # (2 3)² 1 4 # 12 1 16 1 4 cm . z W B 1 W B 1 2 # ( % 2 3)² 1 4 # 12 1 16 1 4 cm uuuur 2  , z W O 1 W O 1 % 4 1 16 1 4 cm y on conclut que W O 1 W A 1 W B 1 4 cm 6 et par conséquent les points 5 4 A 3 2 1 W -7 -6-5-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 B -5 -6 -7

 O, A et B appartiennent au même cercle 9 de centre W et de rayon 4 cm .

        PROBLÈME : (10 POINTS) Partie A . 1. g ( x ) 1 x 2 # 3 % 2 ln x . g '( x ) 1 2 x % 2 1 2 x 2 % 2 1 2 x 2 % 1 1 2 x # 1 x % 1 x x x x x # 1 x % 1 x # 1 2. sur l’intervalle I g '( x ) 1 0 Û 2 Û x % 1 1 0 Û x 1 1 , puisque  2 2 0 sur l’intervalle I. x x x     #υ 0 1 g '( x ) %  0 + g ( x )  4       g 1 1 1 # 3 % 2 ln1 1 1 # 3 1 4 2 0 . Donc la fonction g admet un minimum strictement positif égal à    4 atteint en x 1 1 ,  on en déduit alors que pour tout nombre réel x strictement positif, par conséquent       g ( x ) est strictement positif Partie B 1.a. f ( x ) 1 2 1 x # 1 # 2 1 x # ln( x x ) .    x li | m 0 f ( x ) 1 x li | m 0 è ç æ 2 1 x # 1 # 2 1 x # ln( x x ) ø ƒ ¸ 1 l x i | m 0 è ç æ 2 1 x # 1 ø ƒ ¸ # l x i | m 0 è ç æ % 1 # 2 2 x ln x .  .     x li | m 0 è ç æ 2 1 x # 1 ø ƒ ¸ 1 1  ;  l x i | m 0 æ ç è 2 ln( x x ) % 1 ƒ ø ¸ 1 l x i | m 0 2 ln( x ) % 1 ´ l x i | m 0 æ ç è 1 x ƒ ø ¸ 1%υ´#υ1%υ , donc lim 0 f ( x ) 1 %υ x |  En déduit que la droite d’équation x 1 0 est asymptote à la courbe C au voisinage de 0. 1.b. x l | i # m υ f ( x ) 1 x l | im #υ æ ç è 2 1 x # 1 # 2 1 x # ln( x x ) ƒ ø ¸ 1 x l | i # m υ æ ç è 2 1 x # 1 ƒ ø ¸ % x l | im #υ æ ç è 2 1 x ƒ ø ¸ # x l | i # m υ æ ç è ln( x x ) ƒ ø ¸ . t lim æ ln( x ) ƒ 0 ( voir formulaire ) m f ( x ) 1 #υ       x li | m #υ æ ç è 1 2 x # 1 ƒ ø ¸ 1#υ ; x l | i # m υ æ ç è x 1 ƒ ø ¸ 1 0   e x |#υ ç è x ø ¸ 1 , donc x l | i #υ 2.a&b. f '( x ) 1 2 1 # 1/ x ´ x % x 1 2 ´ ln x % 1 1 2 1 # 1 % x l 2 n x 1 x 2 # 4 2 % x 2 2 ln x 1 g 2 ( x x 2 ) x     0 1 #υ    f '( x ) + #υ                                  f ( x ) %υ  1

          3. a. Sur  ]0; #υ [ ,  la fonction f est dérivable et strictement croissante sur R .          x li | m #υ f ( x ) 1 #υ et l x i | m 0 f ( x ) 1 %υ .Or 0 Î R , donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires  l’équation f ( x ) 1 0 admet  sur l’intervalle  ]0; #υ [ une  solution unique notée a .

 b. A l’aide de la calculatrice : f (0, 67) » % 0, 01 0 0  et   f (0, 68) » 0, 04 2 0  Donc f (0, 67) 0 0 0 f (0, 68)  et f (0, 67) 0 f ( a ) 0 f (0, 68)  Donc  0, 67 0 a0 0, 68  car f est strictement croissante sur  ]0; #υ [  Un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre réel a   est :  0, 67 0 a0 0,68 . 4. Equation de la droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 : y 1 f '(1)( x % 1) # f (1)   f x 1 1  et f (1) 1 1 , donc  '( )  1 # 3 % 2 2ln1 2  on a : y 1 2( x % 1) # 1 1 2 x % 1  Une équation de la droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 est : y 1 2 x % 1 . 5. a. Soit d ( x ) 1 f ( x ) % y 1 % 2 1 # ln x ; or x li | m #υ è æ ç % 2 1 x ø ƒ ¸ 1 0  et  x li |# m υ ln x x 1 0 ,  donc  lim d ( x ) 1 0   x x x |#υ  ( somme limites ). Donc la droite D d’équation y 1 1 2 x # 1 est  asymptote oblique à la courbe C en #υ .    b. La droite D coupe la courbe C en un point B d d x 1 f ( x ) % y 1 % # ln x 1 0 ’abscisse x vérifiant :  () 2 1 x x % 1 # ln x 1 0 Û 2 ln x % 1 1 0 Û 2 ln x % 1 1 0 Û ln x 1 1 Û x 1 e 1/ 2      2 x x 2 x 2  Donc la droite D coupe la courbe C en un point B d’abscisse x 1 e 1/ 2 . c. Étudier les positions relatives de la courbe C et de la droite D sur l’intervalle  ]0; #υ [ revient  à  étudier le signe de : d ( x ) 1 f ( x ) % y 1 % 2 1 x # ln x x 2 0. sur  l’intervalle  ]0; #υ [ ln 1 1 % 1 # ln x 2 0 Û 2 x % 2 0 Û 2 ln x % 1 2 0 Û ln x 2 Û x 2 e 1/ 2      2 x x x 2  Donc : sur l’intervalle  ]0; e 1/ 2 [ , la courbe C est au dessous de la droite D.  Sur  ] e 1/ 2 ; #υ [ , la courbe C est au dessus de la droite D et Pour x 1 e 1/ 2 , la courbe C et la droite D  se coupent 6. Voir courbe en fin d’exercice

D

-1

y 4

3

2

1

0

-1

-2

1 exp(1/2) 2

T

3

4

C

5

6 x

EXERCICE 2 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque bonne réponse rapporte 1 point et chaque mauvaise réponse enlève 0,5 point. Une absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0 . On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie. Partie A  Deux machines A et B produisent un m ê me type de pi è ce. On a pr é lev é 3 000 unit é s sortant de la  machine A et 2 000 de la machine A .  Ces pi è ces peuvent pr é senter deux types de d é fauts :  Un d é faut de couleur, not é C , et un d é faut de taille, not é   T .  Pour la machine A :  2 % des pi è ces pr é sentent uniquement le d é faut C ,  5 % uniquement le d é faut T et 1 % les deux d é fauts.  Pour la machine B :

 3 % pr é sentent le seul d é faut C , 4% le seul d é faut T et 2 % les deux d é fauts. 1. Compl é ter le tableau ci-dessous

C seul T seul C et T ni  C  ni  T Total A 30 3000 B 60 2000 Total 5000

 On prend au hasard une pi è ce parmi les 5 000 pr é lev é es ; toutes les pi è ces ont la m ê me chance d’ ê tre  choisies. 2. La probabilit é que la pi è ce soit fabriqu é e par la machine A est : 2  a. b.  3  c.  3  d.  2 3 5 2 5 3. La probabilit é que la pi è ce pr é sente uniquement le d é faut C est :

 a. 0,024 b. 0,02 c. 0,03 d. 120

4. La probabilit é que la pi è ce pr é sente le d é faut T est : 23        b 3                        c.    71  a. d. 500 50 500 20 5. La probabilit é que la pi è ce pr é sente au moins l’un des deux d é fauts est :

 a. 0,014 b. 0,06 c. 0,038 d. 0,084 Partie B  L’entreprise d é cide de commercialiser les 5 000 pi è ces pr é lev é es : ·   L es pi è ces pr é sentant les deux d é fauts sont invendables et sont d é truites ; ·  Les pièces présentant uniquement un défaut de taille sont bradées au prix de 10 € chacune ; · Celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25€ chacune ; · Enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30€ chacune.  Sachant que le co û t de fabrication d’une pi è ce est de 10 € , on consid è re la variable al é atoire X é gale au  b é n é fice fait par l’entreprise sur chaque pi è ce, exprim é en euros.

6. L’entreprise peut esp é rer un b é n é fice moyen, exprim é en euros, de :  a. 18,68 b. 18,54 c. 18,89 d. 18,75 EXERCICE 2 Partie A Pour la machine A :  2 % des pi è ces pr é sentent uniquement le d é faut C , soit 10 2 0 ´ 3000 1 60  5 % uniquement le d é faut T et 1 % les deux d é fauts, soit 10 5 0 ´ 3000 1 150 qui pr é sentent le d é faut T  et 10 1 0 ´ 3000 1 30 qui pr é sentent les deux d é fauts. Pour la machine B :