Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Congruences dans z
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques

ℤ Ch2: Congruences dans

n Dans tout ce qui suit,désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Propriétéfondamentale:

Terminale S spécialité

a b n a−b Deux entiers relatifset ontle même reste dans la division euclidienne parsi et seulement siest n un multiple de.

Démonstration: Implication=> ● a b n Soient etdeux entiers relatifs ayant le même reste dans la division euclidienne par. a=n qr0rn  où b=nq 'r a−b=n qr−nq '−r a−b=nq−q ' q−q '∈ ℤ a−b n donc ,avec .Il vient queest un multiple de. ● Réciproque:<= a b a−b n Soient etdeux entiers relatifs tels queest un multiple de. a=nqr0rn b=nq 'r '0r 'n Donc avecet avec. a−b=knk ,∈ ℤ En outre,. nqr−nq '−r=nk r−r '=nk−qq ' En soustrayant membre à membre, on obtient<=> ,avec k−qq '∈ℤ r−r 'n . Doncest un multiple de. 0rn 0r 'n−nr−r 'n Or, et, donc. n Par ailleurs, la liste des multiples deest: M(n) = {...;-2n ;-n; 0;n;2n ; 3n ;...} r−r '=0⇔r=r ' Il vient que. D'où l'équivalence.

2. Ladéfinition:

n∈ℕ, n2a ,b∈ ℤ , . a bn ab On dit queet sontcongrus modulolorsque et ontle même reste dans la division euclidienne n par . a≡b[n] On note alors.

Exemples: ● −37≡18[11] −37=11×−47 0r1118=11×17 0r11 car ,et ,. -37et 18 ont bien le même reste dans la division par n. ● n≡3[5] n=5k3,k∈ℤ Écrire signifieque

3. Propriétés:

n∈ℕ, n2a ,a ', b etb '∈ℤ Soit ,. ➢ a≡b[n] a '≡b '[n] aa '≡bb '[n] Si et, alors ➢ a≡b[n] a '≡b '[n] a−a '≡b−b '[n] Si et, alors ➢ a≡b[n] a '≡b '[n] aa '≡bb '[n] Si et, alors p p ➢ a≡b[n] a≡b[n] Si alorspour tout entier naturel p non nul,.

Démonstration: ➢ Addition: 2 a≡b[n] a '≡b '[n] a−b='nk a−b '=nk ' c k , k '∈ℤ et doncet ave. a−ba '−b '=nknk '⇔aa '−bb '=nkk 'kk '∈ℤ Avec . aa '−bb '=, Qn Q∈ℤ donc a + a' est bien congrus à b + b' modulo n.

➢ Soustraction(même raisonnement)

Multiplication: ➢ a−b=nk a '−b '=n k ' a=nkb a '=nk 'b ' On aet doncet . aa '=bnkb 'nk ' aa '=bb 'nk ' bnkb 'n² kk ' On multiplie membre à membre:<=> <=> aa '=bb 'nbk 'kb 'nkk 'bk 'kb 'nkk '∈ ℤ avec . aa '=bb 'nK , K∈ℤaa '−bb '=nK Donc <=>d'où le résultat.

➢ Élévationàlapuissancep: Preuve par récurrence: Initialisation: 11 a=a et b= . a≡b[n] Si p = 1, b Or . Hérédité: p p a≡b[n] Supposons qu'il existe un rang p pour lequel on ait. a≡b[n] On a aussi l'hypothèseet on sait également que la relation de congruence est compatible avec la multiplication. D'où: p pp1p1 × ≡× [] ≡[ ] a ab bn <=> a bn . p p Conclusion: ∀p∈ℕ, p1,a≡b[n] .

Remarque:la relation de congruence n'est pas compatible avec la division.

20≡10[5] Contre-exemple: sil'on divise par 5 de chaque côté, 4 n'est pas congru à 2 modulo 5 car 4 – 2 n'est pas un multiple de 5!