Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Nombres complexes 1
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Ch...: Les complexes (1) Depuis le collège et jusqu'à présent, on ne travaillait qu'avec des nombres positifs réels sous une racine carrée. Néanmoins, il existe des nombres dont le carré est négatif. Ces nombres sont apparus au XVIème siècle avec Cardan (et sa célèbre méthode pour résoudre certaines équations du 3ème degré) et puis repris ensuite par Bombelli, Gauss... Aujourd'hui, ces nombres imaginaires sont une partie bien réelle et très utile des mathématiques. I) Généralitéssur les nombres complexes: 1. L'ensemble des nombres complexes: ℂ On définit l'ensemblepossédant les propriétés suivantes: ➢ ℝ Il contient ➢ Il est également muni des règles d'addition et de multiplication ➢ i i²=−1 Il possède le nombrevérifiant z ℂ z=aa ,bi b∈ℝ Chaque élémentde peuts'écrire de manière unique sous la forme:avec 2. Forme algébrique: z=az zi b L'écriture uniquedu nombre complexeest appelée forme algébrique de. Définition: z∈ℂz=ai ba ,b∈ℝ Soit deforme algébrique, . ➢ a z Re(z) = a Le réelest appelé lapartie réelle; on notera:du nombre complexe b z Im(z) = b ➢ Le réelest appelé lapartie imaginaire; on notera:du nombre complexe ➢ z z=a−i b Le complexeest appeléconjuguédu complexe z et a pour forme algébrique Attention: la partie imaginaire d'un complexe est un nombre réel !

Z, Z'Z'' Exemples: Soient les nombres complexeset .Déterminer leur parties réelles et leurs parties imaginaires. Z = 5 – 2i: Re(Z)= .....et Im(Z) = ...... Z' = 3i:Re(Z') = .....et Im(Z') = ..... 1  Z''=  2i : Re(Z'')= ......et Im(Z'') = ..... 6 Théorème: a ,b ,a ' b ' z=az 'i b=a ''i b 'z , z∈ℂ Soient etdes nombres réels où, avec. z=z 'a=a 'b=b ' si et seulement siet a = a' et b = b'z = z'z = z'z – z' = 0 En effet, si, il est clair que. Maintenant supposons que, alors on asoit a+ib - a' - ib' = 0(a – a') + (b – b')i = 0a – a' = 0b – b' = 0 . En regroupant, on obtient. Donc,et . a = a'b = b' D'où et.

Addition et multiplication de deux complexes: ℂ Il est dit plus haut que les règles d'addition et de multiplication se prolongent à. On aura donc pour z=ai b z '=a 'i b ' a ,a ', b , b '∈ℝ , avec: ➢ z + z' = a + i b + a' + i b' = (a + a') + i (b + b') ➢ zz' = (a + ib) (a' + i b') = aa' + i ab' + ia'b + i²bb' =(aa' – bb')i² = - 1+ i (ab' + a'b) car ➢ z z=aiba−ib=a²b² : autre identité remarquable à apprendre! Remarques: ➢ La partie réelle d'une somme est égale à la somme des parties réelles (resp partie imaginaire). A l'avenir, prendre l'habitude de regrouper toujours les réels d'une part et les imaginaires d'autre part. ➢ ℂ La notion d'ordre n'intervient pas dans: on ne peut donc pas comparer un complexe à un autre, noter z > 0, etc... néanmoins on peut définir un ordre pour les imaginaires purs comme pour les réels.

On va utiliser pour représenter des éléments de l'ensemble des nombres complexes un repère particulier, appeléplan complexeou deGauss- Argand.

A tout nombre complexe Z = a + ib, on associe le point M de coordonnées (a;b) que l'on appelleimagedu complexe Z = a + ib. On le note M(Z). Inversement, à tout point M du plan de coordonnées (a;b), on associe sonaffixeque l'on note souvent Z M .

Axe des imaginaires purs

Axe des réel

  u ;  v wa  ub v  Si la base du repère est, le vecteurimage du complexe Z W = a + ib a pour affixe. On peut donc également additionner, multiplier des vecteurs images de nombres complexes:

Remarque: A tout nombre complexe Z = a + ib, on peut associer le u  ba ; vecteur appeléle vecteur levecteur image du nombre complexe Z.

AB Affixe d'un vecteur: AB Si Z A est l'affixe de A et Z B l'affixe de B, alors l'affixe du vecteurest Z B – Z A . aff( ) AB = Z B – Z A Preuve:Notons A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ). Alors Z A = x A + y A i et Z B = x B + y B i. x−yx ;−y AB Les coordonnées desont B AB A Z−Z=xy i−x−y i=x−xy−yi aff AB=Z−Z Or .Par conséquent B AB BA AB AB A B A .

Axe des réel

Axe des imaginaires purs

AB A' B' a ; b ; b'a ' Soient etdeux vecteurs dont les coordonnées sont respectivementet .   v Z=ZZ ABA 'B '=aa '  ubb ' On a donc. Ainsi, ABB 'AB AA '' B ' . Conséquences: ➢ ∈ℝ Z AB =Z Si , AB 1 ➢ Z= ZZ Si I est le milieu du segment [AB], alors I AB 2 4. Conjugué d'un nombre complexe:

Définition: z z=a−i b On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre complexe notétel que. ℜez= ℜez Remarque: On a alors Conséquences: ➢ zz=2ℜez z−z=2iℑmz et ➢ z∈ℝ⇔z=z z=−z et siz est imaginaire pur. ➢ z z=a²zb² z∈ℝ donc

3. Représentation des nombres complexes:

Exemple: Représenter le point M image du complexe Z =-3+2i, le point N d'affixe 4i, le point P tel que P(2+3i).

Comme tous éléments d'un ensemble, il est possible de représenter géométriquement des nombres complexes tout comme on représentait des réels sur la droite réelle ou dans un repère orthonormé.

Propriétés: Pour tous nombres complexes z et z', on a: ● zz '=zz ' ● −z=−z ● zz '=z×z '

n n ● z=z z z ● = z '≠0 z 'z '

Démonstration: ..................................................................................................................................................................................... Interprétation géométrique: Im ... Le nombre conjugué est ainsi très utile pour prouver qu'un complexe est réel ou encore pour simplifier des dénominateurs pour v Re obtenir desformes algébriques! u

... 1 z= Application 1: Simplifier le complexe suivant. 3−4i ..................................................................................................................................................................................... iz−1 z '= Application 2: Déterminer le lieu de points M d'affixe z telle quesoit réel. z−i .....................................................................................................................................................................................

II) Formetrigonométrique d'un nombre complexe: 1. Moduled'un nombre complexe: Définition: ∣ ∣= Le module d'un nombre complexe z = a + ib est la quantité positive z  a² b² . Interprétation géométrique: ➢ ∣z∣ Si z est l'affixe d'un point M(a;b),est donc la distance OM. ➢ AB ∣z∣=AB=∣z−z∣ Si z est l'affixe d'un vecteurba ;, B A Remarques: ➢ ∣z∣≥0∣z∣=0,z=0 pour tout complexe z. Quand ∣ ∣=⇔∣ ∣ = On peut aussi écrire z  zz z²z z ➢ ➢ ∣ ∣∣ ∣= Lorsque z est réel, on a z  a²=a . Le module d'un rel est donc sa valeur absolue ( cohérence de notation) Propriétés: Pour tous nombres complexes z et z', on a: ● ∣z×z '∣=∣z∣×∣z '∣ z=∈ℝ,∣z∣=∣∣×∣z∣ et si z ∣z∣ 1 1 ● ∣ ∣= z '≠0 ∣ ∣= pour eten particulier z '∣z '∣ z∣z∣ ● ∣zz '∣≤∣z∣∣z '∣ (inégalité triangulaire)

Application: zz ' Soient deux nombres complexes z et z' distincts et de module identique. Prouver queest imaginaire pur. z−z ' .....................................................................................................................................................................................

2. Argumentd'un nombre complexe: Définition: u  ; OM On appelle argument d'un nombre complexe z non nul toute mesure (en radians) de l'angle orienté =argz (avec M point image du complexe z). On le note. Remarques: ➢ Un nombre complexe possède une infinité d'arguments. On privilégiera l'argument principal dans ]- π ; π [ ➢   u ; OM Le nombre complexe nul n'a pas d'argument car on ne peut pas définir l'anglemais le fait que argz=0 signifie juste que z est réel!  ➢ [ ] Un imaginaire pur a donc un argument égal à. 2 Recherche d'un argument:on utilise les relations métriques du triangle rectangle   ∈[0;] ; Cas oùCas oùθappartient à ]] 2 2

OH aHM b cos= =sin= = et OM∣z∣OM∣z∣ cos=−cos− −OH cos= a et commeest négatif, OM −−a ba HM cos= = sin= = et ∣z∣ ∣z∣ OM∣z∣ Quand θest négatif, on applique le même raisonnement qu'avec le cosinus en utilisant la propriété adéquat. a b cos=sin= Bilan:et .(*)dans tous les cas, on a ∣z∣ ∣z∣ z=−  3− sinicos Application: déterminer les modules et les arguments des complexes 1 i z 2 = et . ..................................................................................................................................................................................... Propriétés: Pour tout nombre complexe z, ● argz=−argz[2 ] ● argz=argz[2 ] Si estun réel positif non nul, ● − =[ ]  arg zarg z2 ●  argz=argz [2] Si estun réel négatif non nul, ● arg−z=−argz[2]

3. Formetrigonométrique: =∣z∣  Elle correspond à l'écriture du complexe d'après son moduleet son argument. a=cos b=sin z = a + iba b Il a été établi queet que(*). On peut donc remplaceret dans. Définition: z=cosisin=∣z∣ =argz La forme trigonométrique d'un complexe non nul s'écritavec et.

  z=−2 cosisin Exemple: déterminer la forme trigonométrique du complexe.   5   5  

Propriétés des arguments (bis): Pour tous nombres complexes z et z' non nuls, ● argzz '=argzargz '[2] z ● arg =argz−argz '[2] z '

1 ● arg =−argz[2 ] z n  [] n argz2 p n argz= our ∈ ℤ ●

Démonstration: z=cosisinz '='cos'isin' On va utiliser pour cela les formes trigonométriques: on aet ● zz '=×'cosisin×cos'isin' <=> zz '=×'[coscos'−sinsin'isincos'cossin'] On reconnaît alors les formes trigonométriques de l'addition: zz '= '[cos'isin']  '0 ∣zz '∣= ' , avecdonc . argzz '='=argzargz '[2] Par ailleurs,. 1 1 ● z '=arg1=arg argz[2 ] En posant, on obtient de la relation précédente:. Or z z 1 arg1=0[2 ] arg =−argz[2 ] , d'où. z z1z1 ● =z× arg =argzarg [2] Si on s'aperçoit que, on obtient<=> z 'z 'zz ' z arg =argz−argz '[2 ] . z ' ● Comme n est un entier relatif, il faut considérer 3 cas: n0 n=0n0 n n 1 argz=argz×z×...×z argz=arg  - n > 0 n −n , argz=n argz[2 ] Relation triviale z n 1 argz=−n arg =n argz[2 z Bilan: Pour multiplier deux nombres complexes non nuls, on multiplie les modules et on additionne les arguments.  22 z=3cos− isin−  z=2cos isin  z z Exemple: On donne 1 et 2 . Calculer 1 2 . 4 43 3 ..................................................................................................................................................................................... 4. Lienavec le plan complexe: Propriétés: z z A≠B C≠D Soient A et B deux points d'affixes respectives A et B . SiA, B et C sont tels queet , z−z ● u  ; AB=argz−z D C B A ● AB ; CD=arg  z−z B A

Démonstration:   u ; AB On cherche. Le vecteur AB a pour affixe ABz−z z−z B A . M(z M ) a donc pour affixe B A car = u  ; AB=argz=argz−z OM AB . Donc M BA . AB ; CD=AB ;  u  u ;CD A  B ; CD=−u  ; A  Bu  ; CD[2] (relation de Chasles) u  ; AB=argz−z   CDu ;=argz−z[2 ] Or B A et D C AB ; CD=−argz−zargz−z D'où D CB A z arg =argz−argz '[2 ] AB ; CD= On reconnaît, donc z ' z B −z A

5. Caractérisationdu cercle:

 R R Un cerclede centreet de rayonest l'ensemble des points situés à la distancede . Mz∈C; R⇔∣z−z  ∣=R Il vient que:

6. Caractérisationdu triangle isocèle: Un triangle ABC est isocèle en A si et seulement si AB = AC, autrement dit si z−z B A ∣ ∣=1 à écrire que. z C −z A

∣z−z∣=∣z−z∣ B AC A

, ce qui revient

ℂ III) Équationsdu second degré dans: 1. Racinecarrée d'un nombre réel: ℝ Même méthode que danspour les positifs, dans le cas contraire, le nombre i intervient. = − z²=−4⇒z=2iou−2i s: z²=5⇔  5ou  5 ; Exemple z 2. Racinecarrée d'un nombre complexe non nul: L'exemple va éclairer la technique. z²=43i z = a + ib a ,b∈ℝ Soit eton cherche, . aib²=43i a²2iab−b²=43ia² ,b²∈ℝ Il faut donc que<=> (avec) Or deuxcomplexes sont égaux lorsque leur partie réelle et complexe sont égales chacune à chacune. a²−b²=4 2ab=3 Ainsi, (partiesréelles) et(parties imaginaires) ∣ ∣= ∣z∣²=a²b² Par ailleurs, z  a² b² <=> . z²=43i ∣  = ∣ ∣=  z∣²=5⇔a²b²=5 Or, donc 4 3i  4² 3² 5 donc . a²−b²=4 2ab=3 { On a donc un système à trois équations. a²b²=5 9 3 ✔ 2a²=9⇔a²= a=± Si on ajoute la première ligne à la dernière, on obtientdonc . 2  2 1 1 ✔ 2b²=5−4⇔b²= ⇔b=± Si on ajoute la dernière ligne à la première, on obtient. 2  2 3 13−1 31 31 ;;;;−;;−;−  Dès lors, 4 combinaisons sont possibles:. 2  2  2  2  2  2  2  2 2ab=3 Or, il faut que. On peut donc éliminer les combinaisons 2 et 3. 3 1−3 1 z= z= −i On a donc deux solutions:ou .  2  2  2  2

3. Trinômedu second degré: az²bzc=0 a ,b ,c∈ℝ L'équation avec =b²−4ac Soit lediscriminant.

0 Si L'équation a deux racines réelles: −b   −b−   z= z= 1 et 2 2a 2a

a≠0 ℂ , admet toujours des solutions dans.

=0 0 Si Si L'équation admet une racine doubleL'équation admet deux racines b complexes conjuguées: z=− 2a −b−i  − −bi  − z= z= 1 et 2 2a 2a

Application: z²z1=0 1−iz−32i=2z Résoudre les équations suivantes:et . .....................................................................................................................................................................................